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ap微積分歷年真題 微積分入門( 三 )

微積分這么簡單教過圓環



但是，這個方法不容易想到 。因此，現階段我們不必太過關注 。讓我們先讀下去 。
也就是說，這個積分公式的答案等于圖48的半圓面積 。即
然后乘以剛剛跳過的16，圓環的體積可以得到
圓環看起來像是兩個圓相乘形成的圖形，其體積計算中的二次冪真的很有意思 。在數學中，環面被定義為“圓與圓的笛卡爾乘積(準確地說，環與圓的笛卡爾乘積)” 。說圓環體是兩個圓相乘的圖形，可以說就像文字一樣——不，就像數字一樣 。
像瞳孔一樣計算圓環體的體積 。
上面提到的解決方案可以說是成人的解決方案 。然而，這種方法很難向連勾股定理和積分符號都不知道的小學生解釋 。
沒有上面提到的方法怎么分？適合給小學生講解的方法是“分成細方塊求圓的面積” 。但是，逐個計算方塊的數量需要時間，所以讓我們嘗試一種新方法 。
為了改變思路，這里我先介紹一下“把圓分成扇形求圓面積的方法” 。我們的目標是找到圓環體的體積，但這個目標可以通過使用類似于“將圓分成扇區的方法來找到圓的面積”的思想來實現 。圓是立體的圖形，整體很難想象，但如果是圓的，很容易形象化 。
如圖49所示，將圓分成微小的扇形，然后使扇形上下交叉 。于是，我們得到了一個“平行四邊形” 。
當然扇形弧是彎曲的，所以形成的平行四邊形也有幾分彎曲 。然而，如果我們逐漸分成更小的扇形，我們幾乎看不到彎曲的圓弧，最終我們幾乎可以將圓弧視為直線段 。通過無限分割成更小的扇形，平行四邊形的精度將大大提高 。此時平行四邊形的高度正好等于圓的半徑，底邊等于周長(半徑)的一半 。也就是說，平行四邊形的面積幾乎等于“半徑” 。因此，圓的面積等于“半徑” 。
以上內容就是推導圓面積公式的“瞳孔式”方法 。
如何把甜甜圈變成蛇
結合上一篇文章導出的“瞳孔式”圓面積法，我們開始研究圓環體的體積 。還是用同樣的思路想辦法分割圓環體 。這次我們不會水平分割 。讓我們嘗試垂直拆分(圖50) 。
圓環體垂直分割后，得到的截面只是一個小圓 。
為了進一步研究橫截面的圓，我們首先把它分成八個相等的部分 。然后，利用圓分割后扇形交錯排列的技巧，使圓形體相互交錯 。
這樣，圓環將被重建成一條蜿蜒的蛇 。

這里用的模型是石梅唐納茲的白巧克力米線甜甜圈 。如果不需要甜甜圈，可以用百吉餅 。首先將甜甜圈分成8等份，如圖53所示 。
切好的甜甜圈交錯排列，形成下圖(圖54) 。
可以看到，重新排列的甜甜圈真的變成了蛇形的立體圖形 。
這里，我們把甜甜圈分成8等份 。如果將甜甜圈分割得更細，例如100等份和200等份...蛇形立體圖將更接近圓柱體(水平圓柱體) 。
也就是說，如圖51所示，圓柱體的底部是半徑為2的圓，而高度是半徑為4的圓的周長(圓繞垂直軸旋轉一次時圓心的軌跡長度)，即8 。
因此，我們尋找的圓環體的體積被轉化為底部面積為2，高度為8的圓柱體的體積(圖55)，即
圓周率可以等于約3.14 。代入3.14，可以發現圓環體的體積為315.507±2cm 。
順便說一下，讓我們找出白巧克力米線甜甜圈的體積 。甜甜圈截面圓的半徑為1.5厘米，甜甜圈的直徑為8厘米 。
也就是說，圖51中粗線的圓半徑為82-1.5=2.5 cm 。因此，甜甜圈的體積等于底部面積為1.5、高度為22.5厘米的圓柱體的體積，即
這與邊長為4.8厘米的立方體的體積差不多 。
帕普斯-古爾丁定理
在日本中學的入學考試中，有一個計算旋轉體體積的“秘技”——帕普斯-古爾丁定理 。
我們用這個定理來計算旋轉物體的體積 。
在前環面中，“旋轉的平面圖形”是半徑為2、面積為22=4的圓 。
然后是“旋轉面重心所經過的距離”，這個問題中的“重心”可以理解為“旋轉體的右中心” 。重心移動的距離等于圓柱體的高度，所以是42=8 。
【ap微積分歷年真題 微積分入門】將這些數據代入帕普斯-古爾丁定理，我們可以得到“旋轉體的體積”為48=32 。
很多聰明的小學生都知道這個“秘技”，一定有考生在實際考試中用到這個定理 。然而，解釋這個計算原理真的不是一件容易的事情，你可以看到 。
通過將圓環體變成圓柱體，我們可以從這個過程中看到集成的本質 。
其實同樣的方法也可以用來計算圓環體的表面積 。
在圖55中，可以確認環面的表面積等于“底部半徑為2、高度為8的圓柱體的橫向面積” 。因此，半徑為2的圓的周長為22=4，乘以8，環面的表面積等于32 。順便說一下，這里的表面積和體積相等(都是32)，這只是個意外 。

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