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ap微積分歷年真題 微積分入門( 二 )

微積分這么簡單教過圓環


求圓面積的關鍵是把圓細分 。也就是說，分割的形狀不應該局限于正方形 。因此，我們可以把圓分成“細長的短條”來計算面積 。例如，在圖8中，我們試圖將圓分成細長的條，即矩形的組合 。

話雖如此，既然我們說的是符號，那就從現在開始試著用積分符號吧 。公式也將從這里出現，但內容與剛才的解釋完全一致，請輕松閱讀 。就像業內人士用行業術語說話一樣，用數學符號來解釋數學，同樣的內容在表達上會顯得很優雅 。
在圖9中，我們將圓切割成非常窄的條 。水平方向是x軸 。此時圓的切割方向與X軸剛好垂直 。
在此基礎上，我們選擇一個寬度為x的短條，它是一個希臘字母，發音為“Delta”，常用作“差”的符號，表示一個很小的數字 。
現在，我們用公式來表示這個短桿的面積 。
短條的面積= x值對應的短條長度x 。
如果問為什么要計算短條的面積，那是因為我們需要從這里計算圓的面積 。將這些細長條的面積相加，得到圓的面積 。具體來說，把所有的短條從左端加到右端就夠了 。
在這里，我們逐漸將短帶的寬度減小到無法再減小的程度 。這樣，短條狀看起來更像一條“線”，而不是矩形 。無數“線”加在一起，結果逐漸接近“圓的面積” 。如果用積分符號表示，可以寫成以下形式 。
在公式中，符號聽起來像字母S的縱向伸長，與積分相同 。積分最初的意思是“和”，所以積分符號也取自拉丁語單詞“和”的首字母S 。這是由數學家(也是哲學家)萊布尼茨提出的 。

這里，我想加一點點Delta()和d 。
和d，兩者都源于“差異” 。兩者的區別在于是“近似值”，而英文小寫字母D是“精確值” 。
“確切價值”是什么意思？比如圓周率，3.14是它的近似值，無限循環的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279是它的“精確值” 。在某些情況下，近似值必須是不正確的，而精確值在任何情況下都是正確的 。
因此，我們可以這樣理解dx:“原來由短桿寬度x計算出來的值，被認為是趨于零的‘精確值’ ?！?br /> 綜上所述，delta()和英文小寫字母D分別用于以下情況 。
delta()-當有寬度(寬度大于0)時 。
英文小寫字母d-當寬度接近0時，計算極限值 。
另外，微積分中雖然會出現各種公式和符號，但是初學者一開始不理解這些東西也沒關系，d也是如此 。
感覺和邏輯中考加分
我們來思考兩個方面:“有效劃分圖形的方法”和“使用積分符號的方法” 。為了方便講解，我選取了中考的試題，嘗試用積分法來解答 。
接下來，我們將觸摸旋轉體 。轉體卷是日本高中教材中不可避免的內容，簡單的轉體題在初中入學考試中經常出現，如下面的題 。
如圖所示，有一個半徑為2厘米的圓板，離圓板中心4厘米處有一個垂直軸 。讓圓板以縱軸為軸旋轉一次，計算此時形成的圖形的體積 。
題目來源于日本東海大學附屬高輪平臺大學二級系2007年入學試題，內容部分修改 。
如何回答這個問題？
當板塊繞軸旋轉時，會變成什么樣的圖形？
如圖43所示，圓板變成了這個環形 。這個圓環的形狀在數學上被稱為圓環 。
為了計算圓環體的體積，我們來找一個最簡單的“積分”方法 。什么樣的方法最有效？
如圖44所示，我們可以考慮從水平方向切割圓環體 。
如圖45所示，切割圓環體得到的橫截面就像一個從大圓中挖出的小同心圓 。如果要計算截面積，只需要知道大圓和小圓的半徑 。計算方法與計算碗的橫截面積相同 。
難點在于如何計算圓的半徑 。
讓我們試著把我們的想法畫進下面標題中給出的圖片 。以旋轉軸為X軸，用字母標記每個點(圖46) 。
取x軸上的h點 。因此，在圖45的橫截面上的兩個圓中，大圓的半徑是AH，小圓的半徑是BH 。
其實我們思考的重點是“以h的高度切割圓環體” ?？催@一點，我們可以發現，我們可以用勾股定理 。
然后，設A點和B點的中點為m，此時，根據勾股定理，AM(BM)的長度為根下4 x2 。也就是說，大圓的半徑AH是
小圓的半徑BH是

這里省略了的具體計算過程 。
圓環體的體積可以看作是從底部(x=2)到頂部(x = 2)范圍內厚度為x的許多橫截面積(薄片)的組合(橫截面積之和) 。使用積分符號可以表示如下:
這樣，我們就可以求出圓環體的體積 。
讓我們想想這個公式中“有意義的部分” 。從整體結構來看，16最終可以相乘，所以我們可以不去管它 。應該尋找的第一部分是

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