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泰勒公式的使用條件[泰勒公式趨于0才能用嗎]

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泰勒公式的使用條件[泰勒公式趨于0才能用嗎] ， 小編帶你了解更多信息 。
微分中值定理中介紹過泰勒中值定理(帶有拉格朗日型余項的泰勒公式) ， 它可以用柯西中值定理證明 。不過這里還是先推導出帶有佩亞諾型余項的泰勒公式 ， 然后自然地過渡到帶有拉格朗日型余項的泰勒公式 。
根據微分的定義可知 ， 若函數f在點x0可導 ， 則有

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即用
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的一次多項式
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逼近
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其誤差為
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的高階無窮小
進一步 ， 猜測可以用的n次多項式逼近其誤差為
現在先考慮
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為n次多項式
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的情形 。逐次求它在點x0的各階導數 ， 得到
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即
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由此可見上述多項式函數的各項系數由其在點x0的各階導數唯一確定 。
類似的 ， 對于一般函數
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設它在點x0處存在1到n階的導數 ， 現在嘗試由過點x0 ， 且在點x0處的從1到n階導數分別與
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在點x0處的1到n階導數相等的n次多項式
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(也稱為函數f在點x0的泰勒多項式 ， 各項系數稱為泰勒系數)來逼近該函數 ， 并證明其誤差為定理
若函數f在點x0存在直至n階導數 ， 則有
證:設現在只需要證明
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由于
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在x0處的值及1至n階導數相等 ， 可知
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另外容易得到
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由于
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存在 ， 所以在x0的某鄰域U(x0)上f有定義 ， 且存在直至n-1階導函數 。于是 ， 當
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