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數學史上著名的割圓術

生活百科思想

我國在先秦產生了無窮小分割的若干命題 。隨著人們認識水平的逐步提高，至南北朝時期，無窮小分割思想已經基本成熟，并被數學家劉徽運用到數學證明中 。
我國古代的無窮小分割思想不僅是我國古典數學成就之一，而且包含著深刻的哲學道理，在人們發現、分析和解決實際問題的過程中，發揮了積極作用 。
相傳很久以前，黃河里有一位河神，人們叫他河伯 。河伯站在黃河岸上 。望著滾滾的浪濤由西而來，又奔騰跳躍向東流去，興奮地說：“黃河真大呀，世上沒有哪條河能和它相比 。我就是最大的水神啊！”
有人告訴他：“你的話不對，在黃河的東面有個地方叫渤海，那才真叫大呢！”
河伯說：“我不信，渤海再大，能大得過黃河嗎？”
那人說：“別說一條黃河，就是幾條黃河的水流進渤海，也裝不滿它 ?！?br /> 河伯固執地說：“我沒見過渤海，我不信 ?！?br /> 那人無可奈何，告訴他：“有機會你去看看渤海，就明白我的話了 ?！?br /> 秋天到了，連日的暴雨使大大小小的河流都注入黃河，黃河的河面更加寬闊了，隔河望去，對岸的牛馬都分不清 。

這一下，河伯更得意了，以為天下最壯觀的景色都在自己這里，他在自得之余，想起了有人跟他提起的渤海，于是決定去那里看看 。
河伯順著流水往東走，到了渤海，臉朝東望去，看不到水邊 。只見大海煙波浩渺，直接天際，不由得內心受到極大震撼 。
河伯早已收起了欣喜的臉色，望著海洋，對著渤海嘆息道：“如今我看見您的廣闊無邊，我如果不是來到您的家門前，那就危險了，因為我將永遠被明白大道理的人所譏笑 。”
渤海神聞聽河伯這樣說，知道他提高了認識，就打算解答他的一些疑問 。
其中有一段是這樣的 。
河伯問：“世間議論的人們總是說：‘最細小的東西沒有形體可尋，最巨大的東西不可限定范圍’ 。這樣的話是真實可信的嗎？”
渤海神回答：“從細小的角度看龐大的東西不可能全面，從巨大的角度看細小的東西不可能真切 。精細，是小中之??；龐大，是大中之大 。大小雖不同卻各有各的合宜之處，這是事物固有的態勢 ?！?br /> “所謂精細與粗大，僅限于有形的東西，至于沒有形體的事物，是不能用計算數量的辦法來分的；而不可限定范圍的東西，更不是用數量能夠精確計算的 ?！?br />
上述故事選自被稱為“天下第一奇書”的《莊子》的《秋水》篇，這篇文章是人們公認的《莊子》書中第一段文字 。因為此篇最得莊周汪洋恣肆而行云流水之妙 。
其實，這段對話中說的至精無形、無形不能分的思想，可以看做是作者借河神和海神的對話，闡述了當時的無窮小分割思想 。
早在我國先秦時期，西周時期數學家商高也曾與周公討論過圓與方的關系 。在《周髀算經》中，商高回答周公旦的問話中說得一清二楚 。
圓既然出于方，為什么圓又歸不了方呢？是世人沒有弄清“圓出于方”的原理，而錯誤地定出了圓周率而造成的 。
商高“方圓之法”，即求圓于方的方法，滲透著辯證思維 ?！叭f物周事而圓方用焉，”意思是說，要認識世界可用圓方之法；“大匠造制而規矩設焉”，意思是說，生產者要制造物品必然用規矩 。
可見“圓方”包容著對現實天地的空間形式和數量關系的認識，而“數之法出于圓方”，就是在說數學研究對象就是“圓方”，即天地，數學方法來之于“圓方” 。亦即數學方法源于對自然界的認識 。
“毀方而為圓，破圓而為方”，意思是說，圓與方這對矛盾，通過“毀”與“破”是可以互相轉化的 。認為“方中有圓”或“圓中有方”，就是在說“圓”與“方”是對立的統一體 。
這就是商高的“圓方說” 。它強調了數學思維要靈活應用，從而揭示出人的智力、人的數學思維在學習數學中的作用 。認識了圓，人們也就開始了有關于圓的種種計算，特別是計算圓的面積 。
戰國時期的“百家爭鳴”也促進了數學的發展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數學有關 。
名家認為經過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不正，不可為方；規不正，不可為圓”，認為圓可以無限分割 。
墨家則認為，名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物 。墨家給出一些數學定義，例如圓、方、平、直、次、端等 。

墨家不同意圓可以無限分割的命題，提出一個“非半”的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點 。

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