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對稱矩陣是沿對角線對稱的矩陣 。它是一個自伴算子（self-adjoint operator）（把矩陣看作是一個算子并研究其性質確實是一件大事） 。雖然我們不能直接從對稱性中讀出幾何屬性 ， 但我們可以從對稱矩陣的特征向量中找到最直觀的解釋 ， 這將使我們對對稱矩陣有更深入的了解 。
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常見的例子是單位矩陣 。一個重要的例子是：
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對稱矩陣的一個例子然而 ， 雖然定義簡單如斯 ， 但卻意義非凡 。在這篇文章中 ， 我們將看一看它們的重要屬性 ， 直觀地解釋它們 ， 并介紹其應用 。
厄米特矩陣（The Hermitian matrix）是對稱矩陣的復擴展 ， 這意味著在厄米特矩陣中 ， 所有元素都滿足：
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厄米特矩陣的共軛轉置與自身相同 。因此 ， 它具有對稱矩陣所具有的所有性質 。
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厄米特矩陣的一個例子在這篇文章中 ， 我主要討論的是實數情況 ， 即對稱矩陣 ， 以使分析變得簡單一些 ， 同時在數據科學中 ， 我們遇到的也大都是實矩陣 ， 因為我們要處理現實世界的問題 。
對稱矩陣的最重要的性質本節將介紹對稱矩陣的三個最重要的性質 。它們涉及這些矩陣的特征值和特征向量的行為 ， 這是區別對稱矩陣和非對稱矩陣的基本特征 。
性質1. 對稱矩陣有實數特征值
這可以很容易地用代數法證明（正式的、直接的證明 ， 而不是歸納法、矛盾法等） 。首先 ， 快速回顧一下特征值和特征向量 。
矩陣A的特征向量是 ， 在A作用于它之后 ， 方向不變的向量 。方向沒有改變 ， 但向量大小可以改變 。實數特征值給我們提供了線性變換中的拉伸或縮放信息 ， 不像復數特征值 ， 它沒有 "大小" 。向量被縮放的比例是特征值 ， 我們用λ表示 。因此我們有：
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式1.1證明是相當容易的 ， 但有一些重要的線性代數知識 ， 所以我們還是要一步一步地來 。
1.1通過x的共軛轉置x?得到：
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式1.2需要注意的是 ， λ是一個標量 ， 這意味著涉及λ的乘法是可交換的 。因此 ， 我們可以把它移到x?（x的轉置 ， 上標H可能不顯示）的左邊：
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式1.3x?x是一個歐幾里得范數（ Euclidean norm） ， 其定義如下：
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公式1.4在二維歐幾里得空間中 ， 它是一個坐標為（x_1 ， ... ， x_n）的向量的長度 。然后我們可以把公式1.3寫成：
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公式1.5由于共軛轉置（算子H）與普通轉置（算子T）的原理相同 ， 我們可以利用x?A=（Ax）?的特性 。
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公式1.6(Ax)?等于什么？這里我們將再次使用Ax = λx的關系 ， 但這次(Ax)?將留給λ的復共軛 ， 在λ上加一橫表示共軛 。
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式1.7我們在式1.3中見過x?x ， 代歐幾里得范數后得到：
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式1.8這導致了λ和它的復共軛相等：
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式1.9只有在一種情況下 ， 式1.9才有效 ， 即λ是實數 。這樣一來 ， 我們就完成了證明 。
性質2. 特征值所對應的特征向量是正交的
這個證明也是一個直接的形式證明 ， 但很簡單 。首先我們需要清楚目標 ， 即：
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