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x上面加一橫怎么打符號公式 x上面加一橫怎么打( 二 )

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x上面加一橫怎么打符號公式 x上面加一橫怎么打

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式1.10考慮一個對稱矩陣A ， x_1和x_2是A的特征向量 ， 對應于不同的特征向量（我們需要這個條件的原因將在稍后解釋） 。根據特征值和對稱矩陣的定義 ， 我們可以得到以下公式：
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式1.11和式1.12現在我們需要證明式1.10 。讓我們試著把x_1和x_2放在一起- 。在左邊用 (Ax?)?乘以x??：
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式1.13在式1.13中 ， 除了對稱矩陣的特性外 ， 還用到了另外兩個事實 。
矩陣乘法符合結合律（可以用結合律運算）矩陣-標量乘法是可交換的（可以自由移動標量） 。然后 ， 由于點積是可交換的 ， 這意味著x??x?和x??x?是等價的 ， 所以我們有：
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【x上面加一橫怎么打符號公式x上面加一橫怎么打】
式1.14其中x_1?x_2表示點積 。如果λ_1≠λ_ ， 那么x_1?x_1=0 ， 這意味著這兩個特征向量是正交的 。如果λ_1 = λ_2 ， 則有兩個不同的特征向量對應于同一個特征值 。由于特征向量在(A-λI)的零空間（表示為N(A-λI)） ， 當一個特征向量對應于多個特征向量時 ， N(A-λI)的維數大于1 。在這種情況下 ， 我們對這些特征向量有無限多的選擇 ， 我們總是可以選擇它們是正交的 。
顯然 ， 有些情況下 ， 實數矩陣有復數特征值 。這發生在旋轉矩陣上 。為什么會這樣呢？假設Q是一個旋轉矩陣 。我們知道 ， 特征向量在被Q作用后不會改變方向 。但如果Q是一個旋轉矩陣 ， 如果x是一個非零向量 ， x怎么可能不改變方向呢？結論是 ， 特征向量必須是復數（好好想一想吧） 。
二維空間中的旋轉矩陣R(θ)如下所示：
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旋轉矩陣R(θ)將一個向量逆時針旋轉一個角度θ ， 它是一個具有復數特征值和特征向量的實矩陣 。
性質3. 對稱矩陣總是可對角化的（譜定理）
這也與對稱矩陣的其他兩個特性有關 。這個定理的名字可能讓人困惑 。事實上 ， 一個矩陣的所有特征值的 *** 被稱為譜（ spectrum） 。另外 ， 我們可以這樣想 。
特征值-特征向量對告訴我們 ， 在給定的線性變換之后 ， 一個向量在哪個方向上被扭曲 。
如下圖所示 ， 經過變換后 ， 在v_1的方向上 ， 圖形被拉伸了很多 ， 但在v_2的方向上卻沒有很大的拉伸 。
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一個可對角線化的矩陣意味著存在一個對角線矩陣D（對角線以外的所有元素都是零） ， 使得P-1AP=D ， 其中P是一個可逆矩陣 。我們也可以說 ， 如果一個矩陣可以寫成A=PDP-1的形式 ， 那么該矩陣就是可對角的 。
分解通常不是唯一的 ， 但只有D中對角線上的元素的排列和P中特征向量的標量乘法才是唯一的 。另外我們需要注意的是 ， 無論矩陣是否對稱 ， 對角線化都等同于找到特征向量和特征值 。然而 ， 對于非對稱矩陣 ， D不一定是正交矩陣 。
這兩個定義是等價的 ， 但可以有不同的解釋（這種分解使得求矩陣的冪非常方便） 。第二個定義 ， A=PDP-1 ， 告訴我們A如何被分解 ， 與此同時 ， 之一個定義 ， P-1AP=D ， 是告訴我們A可以被對角化 。它告訴我們 ， 有可能將標準基（由單位矩陣給出）與特征向量對齊（align） 。這是由特征向量的正交性決定的 ， 這在性質2中顯示 。
這個 "將標準基與特征向量對齊 "聽起來非常抽象 。我們需要思考這個問題：矩陣變換對單位基做了什么？
由基α = {v_1 ， … ， v_n}組成的矩陣將一個向量x從標準基變換到由基α構成的坐標系 ， 我們用Aα表示這個矩陣 。因此 ， 在對角化的過程中（P-1AP=D） ， P將一個向量從標準基送入特征向量 ， A對其進行縮放 ， 然后P?1將該向量送回標準基 。從向量的角度來看 ， 坐標系與標準基對齊 。

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