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這種對齊方式如圖1.16所示 ， 本例中使用的矩陣為：
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式1.17其中V是一個列向量長度為1的矩陣 ， 每一個都對應于對角線矩陣中的特征值 。至于計算 ， 我們可以讓Matlab中的eig來完成 。
這個性質直接遵循譜定理（ spectral theorem）：
如果A是厄米特矩陣 ， 存在一個由A的特征向量組成的V的正態基 ， 每個特征向量都是實數 。
該定理直接指出了將一個對稱矩陣對角化的 ***。為了直接證明這個性質 ， 我們可以使用矩陣大?。ňS度）的歸納法 。。
正定性這些性質什么時候有用？甚至在正式研究矩陣之前 ， 它們已經被用于解決線性方程組很長時間了 。把矩陣看成是運算子 ， 線性方程的信息就儲存在這些運算子中 ， 矩陣可以用來研究函數的行為 。
除了對稱性之外 ， 矩陣還可以有一個更好的性質就是正定性 。如果一個對稱矩陣是正定的 ， 它的所有特征值都是正的 。如果它的所有特征值都是非負的 ， 那么它就是一個半正定矩陣 。對于一個正定矩陣 ， 很明顯要求它是對稱的 ， 因為性質1 ， 因為只有當一個數字是實數時 ， 問它是正數還是負數或有多大才有意義 。
特征值、特征向量和函數行為
這方面的一個很好的應用是海賽矩陣（Hessian matrix） ， 我們將以此為例來證明使用矩陣來分析函數行為 。當我們試圖找到一個局部極值時 ， 發現海賽矩陣是正定的將非常有用 。海賽矩陣是一個由實數函數的二階偏微分組成的矩陣 。形式上 ， 海賽矩陣被定義為：
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我們稱H(x)為f的海賽矩陣 ， 它是一個n乘n的矩陣 。它與以下內容相同：
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這對函數的行為有什么影響？我們來看看一個超級簡單的例子 。考慮一下函數：
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海賽矩陣的計算 *** 如下：
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式2.3由于它是一個對角矩陣 ， 并且跡（對角線上的元素之和）等于特征向量之和 ， 我們可以立即看到其中一個特征值是2 ， 另一個是-2 。它們對應于特征向量v? = [1, 0]?和v? = [0, 1]? 。這個矩陣是對稱的 ， 但不是正定的 。因此 ， 在整個?2上沒有局部極值 ， 我們只能在x=0 ， y=0點上找到一個鞍點 。這意味著在特征值為正的v_1方向上 ， 函數增加 ， 而在特征值為負的v_2方向上 ， 函數減少 。該函數的圖像如下所示:
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現在我們改變符號 ， 將函數改為：
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特征向量保持不變 ， 但所有的特征向量都變成了正數 。這意味著 ， 在v_1的方向和v_2的方向上 ， 函數都在增長 。因此 ， 可以找到局部最小值在x=0 ， y=0處 ， f(x,y)=0 ， 這也是全局最小值 。該圖為：
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總結矩陣在許多領域都有廣泛的應用 。在處理矩陣時 ， 經常會遇到正定義性、特征向量、特征值、對稱矩陣等概念 。在這篇文章中 ， 介紹了對稱（厄米特）矩陣的三個最重要的性質 ， 它們與矩陣的特征向量和特征值有關 。這些性質是以幾何學方式解釋的 ， 但也包括一些代數證明 。最后 ， 介紹了一個使用矩陣來分析函數行為的例子 。
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