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什么是費馬定理

生活百科定理


什么是費馬定理

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費馬大定理（Fermat's last theorem）
現代表述為：當n＞2時 ， 方程
xn＋yn＝zn
沒有正整數解 。
費馬大定理的提出涉及到兩位相隔1400年的數學家 ， 一位是古希臘的丟番圖 ， 一位是法國的費馬 。
丟番圖活動于公元250年左右 ， 他以著作《算術》聞名于世 ， 不定方程研究是他的主要成就之一 。他求解了他這樣表述的不定方程（《算術》第2卷第8題）：
將一個已知的平方數分為兩個平方數 。（1）
現在人們常把這一表述視為求出不定方程
x2＋y2＝z2 （2）
的正整數解 。因而 ， 現在一般地 ， 對于整系數的不定方程 ， 如果只要求整數解 ， 就把這類方程稱為丟番圖方程 。有時把不定方程稱為丟番圖方程 。
關于二次不定方程（1）的求解問題解決后 ， 一個自然的想法是問未知數指數增大時會怎么樣 。費馬提出了這一數學問題 。
費馬生前很少發表作品 ， 一些數學成果常寫在他給朋友的信中 ， 有的見解就寫在所讀的書頁的空白處 。他去世后 ， 才由后人收集整理出版 。
1637年前后 ， 費馬在讀巴歇校訂注釋的丟番圖的《算術》第2卷第8題 ， 即前引表述（1）時 ， 在書的空白處寫道：“另一方面 ， 將一個立方數分成兩個立方數 ， 一個四次冪分為兩個四次冪 ， 或者一般地將一個高于二次的冪分為兩個同次的冪 ， 這是不可能的 。關于此 ， 我已發現一種美妙的證法 ， 可惜這里空白的地方太小 ， 寫不下 。” （3）
費馬去世后 ， 人們在整理他的遺物時發現了這一段話 ， 卻沒有找到證明 ， 這更引起了數學界的興趣 。
后來 ， 表述（3）被理解為：當整數n＞2時 ， 方程
xn＋yn＝zn （4）
沒有正整數解 。
歐拉、勒讓德、高斯等大數學家都試證過這一命題 ， 但都沒有證明出來 ， 問題表述的簡單和證明的困難 ， 吸引了更多的人投入證明工作 。
這一命題就被稱為費馬猜想 ， 又叫做費馬問題 ， 但更多地被叫做“費馬最后定理” ， 在我國 ， 則一般稱之為費馬大定理 。
“費馬最后定理”的來歷可能是：費馬一生提出過許多數論命題 ， 后來經過數學界的不懈努力 ， 到1840年前后 ， 除了一個被反駁以外 ， 大多數都被證明 ， 只剩下這個費馬猜想沒有被證明 ， 因此稱之為“最后定理” 。
稱之為費馬大定理是為了和“費馬小定理”相區別 ， 后者也是數論中的一個著名定理：設p為素數 ， 而a與p互素 ， 則ap -a必為p的倍數 。
從費馬的時代起 ， 人們就不斷進行費馬大定理的試證工作 。巴黎科學院曾先后兩次提供獎章和獎金 ， 獎勵證明費馬大定理的人 ， 布魯塞爾科學院也懸賞重金 ， 但都無結果 。1908年 ， 德國數學家佛爾夫斯克爾（F．Wolfskehl）將10萬馬克贈給格丁根皇家科學會 ， 用以獎勵證明費馬大定理的人 ， 懸賞期100年 。
人們先對費馬大定理作了一些探討 ， 得出只要證明n＝4時以及n是任一奇素數p時定理成立 ， 定理就得證 。這為后來的證明指出了方向 。
最初的證明是一個數一個數地進行的 。
n＝3的情形在公元972年已為阿拉伯人胡堅迪（al-Khujandi）所知 ， 但他的證明有缺陷 。1770年歐拉給出一個證明 ， 但也不完善 。后來 ， 高斯給出完善的證明 。
n＝4的情形 ， 費馬本人已接近得出證明（見無窮遞降法） ， 后來歐拉等人給出了新證 。
n＝5的情形 ， 1823年和1826年勒讓德和狄利克雷各自獨立地給出證明 。1832年后者還證明了n＝14的情形 。
n＝7的情形 ， 1839年為拉梅（Lame）所證明 。
后來 ， 人們為研究的方便 ， 對費馬大定理作了進一步的分析 。對于素數p ， 當p不能整除xyz之積時 ， 不定方程
xp＋yp＝zp （5）
無正整數解（p＞2） ， 稱之為費馬大定理的第一種情形 ， 這種情形似乎容易證一些 。

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