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什么是費馬定理( 二 )

生活百科定理


法國數學家熱爾曼證明：如果p是一個奇素數 ， 使得2p＋1也是素數 ， 那么對于p ， 費馬大定理的第一種情形成立；勒讓德推廣了熱爾曼的結果 ， 證明：如果p是素數 ， 使4p＋1 ， 8p＋1 ， l0p＋1 ， 14p＋1 ， 16p＋1之一也是素數 ， 則對于p ， 費馬大定理的第一種情形成立 。這實際上已經證明了對于所有素數p＜l00 ， 費馬大定理的第一種情形成立 。
德國數學家庫默爾則從另一個角度分析了費馬大定理 ， 他引入理想數和分圓數 ， 開創理想數論 ， 他把素數分為正則素數和非正則素數兩部分 。他證明 ， 對于正則素數 ， 費馬大定理成立 。以100之內的奇素數為例 ， 共有24個 ， 除37 ， 59 ， 67外都是正則素數 。1844年 ， 庫默爾證明了對于它們費馬大定理成立 。那么素數中到底有多少正則素數呢？這一問題卻長期未得到解決 。1915年 ， 卡利茨證明非正則素數有無窮多 ， 對于非正則素數怎么處理呢？還得回到一個一個證明的老路上來 。1857年庫默爾證明對于p＝59 ， 67 ， 費馬大定理成立；1892年米里曼諾夫（D．Mirimanoff）證明對p＝37費馬大定理成立 。電子計算機出現并廣泛應用之后 ， 對非正則素數情形的證明取得了新的進展：1978年證明 ， 對125000以內的非正則素數 ， 費馬大定理成立；1987年這一上限推進到1500001992年更推進到1000000 。由于庫默爾第一次“成批地”證明了定理的成立 。人們視之為費馬大定理證明的一次重大突破 。1857年 ， 他獲得巴黎科學院的金質獎章 。
對于第一種情形 ， 進展更快一些 。如1948年 ， 日本的森島太郎等證明對于P＜57×109 ， 第一種情形成立 。1983年 ， 人們證明了對于當時已知的最大的素數p＝286243－1 ， 第一種情形成立 。1985年 ， 英國的希斯－布朗（R．Heath-Brown）證明：存在無窮個素數p ， 使第一種情形成立 。
前人直接證明費馬大定理的努力取得了許多成果 ， 并促進了一些數學分支的發展 ， 但離定理的證明 ， 無疑還有遙遠的距離 。怎么辦呢？按數學家解決問題的傳統 ， 就是要作變換—把問題轉化為已知的或易于解決的領域的“新”問題 。
一個轉化方向是把問題具體化 ， 就是建立一個可由要證的命題推導出來的新命題（從邏輯的角度看 ， 是要證命題的必要條件） 。一般地 ， 更具體的命題比原命題容易證明 ， 如果證明了這個新命題 ， 則把對原命題的證明推進了一大步 。如果反駁了這個新命題 ， 那就直接反駁了原命題：必要條件不成立的命題不成立 。
具體化的方式取得了一批重要的成果 。1909年 ， 威費里希（A．Wieferich）證明 ， 如果對指數p ， 費馬大定理的第一種情形不成立 ， 則p2可以整除2p-1－1 。經過尋找 ， 在3×109以下只有p＝1093和p＝3511滿足這一條件 ， 但這兩個素數均已直接驗證滿足費馬大定理 。這實際上就證明了 ， 對30億以內的所有素數 ， 第一種情形都成立 。20世紀80年代人們更證明了費馬大定理若有反例 ， 即存在正整數x ， y ， z ， 當n＞2時 ， 使
xn＋yn＝zn
成立 ， 則n＞101800000 。
另一個轉化方向是使問題抽象化 ， 就是建立一個可由之推導出要證明的命題的“新”命題（從邏輯的角度看 ， 是要證命題的充分條件） 。一般地說 ， 更抽象的命題更難證明 ， 但是一旦證明了 ， 就能立即推出要證的命題 ， 并且還能得出許多別的結果來 。
抽象化的一個結果就是求解丟番圖方程 ， 方程（5）不過是丟番圖方程的一個特例 。經過一種代數幾何學的轉化 ， 人們把丟番圖方程的解與代數曲線上的有理點（坐標都是有理數的點）聯系起來了 。
對于平面中的一條曲線 ， 人們首先注意到的一個數值不變量是它的次數 ， 即定義這條曲線的方程的次數 。次數為一次、二次的曲線都是有理曲線（在代數幾何中 ， 它們與直線同構） ， 它們主要是解析幾何的研究對象 。代數幾何是從19世紀上半葉關于三次或更高次的平面曲線的研究開始的 。

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