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什么是費馬定理( 三 )

生活百科定理


定義代數曲線的方程一般可表示為
F（u ， v）＝0 ，  （6）
左邊為u ， v的一個多項式 。丟番圖方程就是一種代數曲線的方程 。人們發現 ， 曲線上的有理點就是使等式成立的點 ， 即定義曲線的方程的解 。
對方程
xn＋yn＝zn
來說 ， 兩邊除以zn ， 得
。
令u= ,v=  ， 則有
un＋vn＝1 （7）
（7）被稱為費馬方程 ， 由它定義的曲線被稱為費馬曲線 。于是 ， 費馬大定理轉化為“在平面中 ， 費馬曲線在n＞2時沒有坐標都是非零有理數的點” 。
【什么是費馬定理】黎曼在1857年引入了代數函數 ， 使代數幾何有了較大的發展 。他把代數函數定義在一些互相適當聯結的覆疊的復平面上 ， 它們后來被稱為黎曼曲面 ， 代數函數在其黎曼曲面上得以單值化 。若把代數曲線視為由方程（6）確定的一個代數函數的圖象 ， 則每個代數曲線都有一個自己的（一一對應的）黎曼曲面 。這種黎曼曲面有一大特點：它們恒可以經連續變換成為球面或帶有n個洞（貫通的洞）的球面 。洞的個數被稱為黎曼曲面的從而也是與它對應的代數曲線的虧格—這是一個重要的代數幾何不變量 ， 它決定了黎曼曲面從而代數曲線的許多性質 ， 虧格可以作為劃分代數曲線的一個標準 ， 例如按虧格g的不同 ， 有：
g＝0：直線、圓、圓錐曲線；
g＝1：橢圓曲線；
g≥2：其他曲線 ， 如費馬曲線等 。
1922年 ， 英國數學家莫德爾提出一個猜想——虧格g≥2的代數曲線上的有理點只有有限多個 。按前述轉化分析 ， 由它立即可得出丟番圖方程（由方程定義的代數曲線虧格g≥2的）的解只有有限多個；進而可推出 ， n＞2時 ， 方程（5）的正整數解（原始解）至多只有有限多個 。
1983年 ， 德國數學家法爾廷斯利用法國數學家格羅唐迪克所建立的概形理論證明了莫德爾猜想 ， 從而證明了前述關于費馬大定理的結論 。人們認為這是費馬大定理證明中的又一次重大突破 ， 對許多數學分支都產生了重要的影響 。為此 ， 法爾廷斯獲得1986年度菲爾茲獎 。1985年 ， 希斯－布朗利用法爾廷斯的結果 ， 證明了對于幾乎所有的素數p ， 費馬大定理成立 ， 即如果對某些素數p ， 定理不成立 ， 那么這樣的p的數目在整個素數中是微不足道的 。
種種轉化的方法既推進了所轉化的領域的發展 ， 也使費馬大定理的證明取得進展 。可以說 ， 以上結論已十分接近費馬大定理了 ， 但它們畢竟不是原定理的證明 ， 離原定理的證明尚有并非容易跨越的“一小步” 。
1993年6月23日 ， 星期三 。英國劍橋大學新落成的牛頓數學研究所的大廳里正在進行例行的學術報告會 。報告從上午8時整開始 ， 報告人懷爾斯用了兩個半小時就他關于“模形式、橢圓曲線和伽羅瓦表示”的研究結果作了一個冗長的發言 。10時30分 ， 在他的報告結束時 ， 他平靜地宣布：“因此 ， 我證明了費馬大定理 ?！焙芸?nbsp;， 這一消息轟動了全世界 ， 許多一流的大眾傳播媒介迅速地報道了這一消息 ， 并一致稱之為“世紀性的科學成就” 。
那么 ， 懷爾斯是怎樣完成費馬大定理的最后一步證明的呢？他繼續使用轉化的方法 ， 采用的則是橢圓函數參數化 。
20世紀50年代 ， 一些數學家發現橢圓函數與模函數有聯系 。模函數也是一種人們早有研究的復變數函數 ， 它是定義在單位圓（或上半平面）內部且以其周界為自然邊界的一種特殊解析函數 。人們發現 ， 構成模函數的種種反演變換生成一個變換群G ， 模函數是關于群G的自守函數 。這是它與橢圓函數的聯系之一 。一些數學家猜測 ， 橢圓曲線可由特殊的模函數單值化 ， 這種曲線被稱為模曲線 。1967年韋伊發表了這一猜想 ， 稱為谷山－志村－韋伊猜想：所有橢圓曲線都是模曲線 。
1971年 ， 一位法國數學家指出橢圓函數可與費馬大定理聯系起來 。橢圓曲線可由模函數單值化 ， 這與代數曲線由其黎曼曲面單值化十分相似 。是否也可以類比于黎曼曲面方法 ， 從模函數中找出橢圓曲線的分類標準對其分類 ， 使其中與費馬大定理對應的一類中無有理點呢？

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