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菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想( 四 )

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法國數學家龐加萊（1854-1912）是研究曲面拓撲性質的先驅之一 。他發展了現代拓撲學的基本思想——同倫與同調的重要概念 。

菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想

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龐加萊
龐加萊試圖搞清楚拓撲學上等同于高維球面的形狀可以有多么不同，正如早期拓撲學研究者試圖搞清楚簡單的封閉曲線的形狀可以有多么不同一樣 。龐加萊思考了這個問題，并給出一個猜想，但是并沒有明確說出他認為這個猜想是對還是錯！這個猜想后來被稱為龐加萊猜想，用現代術語表述是這樣：
如果M是封閉的單連通3維流形，則M與3維球面同胚 。
這個猜想形式上的直觀性吸引了許多拓撲學家開始研究這個問題，并且發展出了許多關于流形的工具，這些工具有希望找到解決這個問題的途徑 。這個看似簡單的問題引發了人們的興趣，從而刺激拓撲學取得了重要的進展 。瑟斯頓在博士工作完成后，對各種流形，尤其是雙曲流形產生了興趣 。關鍵在于這種流形上的每一點都類似某個維度的雙曲幾何空間 。研究一段時間后，瑟斯頓提出了一個猜想，這個猜想后來被稱為瑟斯頓幾何化猜想 。直觀的想法是，任何封閉的3維流形都可以區分為8 種類型之一，瑟斯頓對此給出了明確描述，并進行了研究 。值得注意的一點是，如果這個猜想被證明是正確的，那么龐加萊猜想就是它的一個推論 。
瑟斯頓和其他人證明了幾何化猜想的幾種特例是正確的 。尤其是，瑟斯頓用非常創新的想法證明了，它對一類很豐富的流形，也就是哈肯流形成立 。哈肯流形以Wolfgang Haken（1928-）的名字命名，他最著名的工作是與Kenneth Appel證明了四色猜想 。
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比爾·瑟斯頓的照片 。留意他運動衫上的公式！
在19世紀末20世紀初，希爾伯特列出了一系列他認為對數學發展很重要的問題，希爾伯特問題引發了人們的廣泛興趣 。后來的發展證明了他的眼光！其中許多問題已被解決，并衍生出了許多新的數學思想，另一些還在繼續研究 。2000年時克雷數學研究所提出了一個包含7個問題的清單，被稱為千禧年問題，并附加了懸賞，解決其中任何一個問題，都能得到一百萬美元獎金！龐加萊猜想就是千禧年問題之一 。
2002年，佩雷爾曼（Grigori Perelman，1966-）公布了一系列論文，聲稱已證明了龐加萊猜想 。他解決這個問題的方法就是證明瑟斯頓幾何化猜想 。隨后對他的證明進行的嚴格審查證實，他的方法非常具有原創性，并且是正確的 。同其他突破性證明方法剛提出時一樣，佩雷爾曼的方法后來又被加以完善和改進 。在他的證明被確認正確之后，他被授予了千禧年獎，但他拒絕領獎！他也被選為 2006 年菲爾茲獎的得主之一（同Andrei Okounkov、陶哲軒和Wendelin Werner一起），但是他又拒絕了 。佩雷爾曼使用的方法部分基于Richard Hamilton 關于Ricci流的思想 。
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格里戈里·佩雷爾曼
瑟斯頓的其他貢獻
接下來我們介紹一下瑟斯頓對幾何學的另外兩個很重要的貢獻 。瑟斯頓推廣流形概念的方法之一是發展軌形（orbifold，orbit-manifold的縮寫）的概念 。瑟斯頓在普林斯頓的同事康威（John Horton Conway，1937-2020，在剛過去的4月11日，這位數學天才因新冠肺炎不幸離世）發明了一種實用的軌形標注法，并用來研究各種曲面的對稱性 。康威證明了它可以解釋一個看似特別神秘的事情——在歐氏條帶上有7種類型的帶狀裝飾（見圖8的示例），在歐氏平面上有17種類型的壁紙圖案 ?？低谄渲惺褂昧塑壭蔚母拍詈突谇妫ㄔ谶@里是歐式平面）的歐拉示性數的思想，這樣對數字7和17的根源就有了一種自然的理解！
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圖8. 兩種不同類型的帶狀裝飾圖案 。| 圖片來源：Wikipedia
在對流形的研究中，人們經常感興趣的一個問題是如何對曲面進行三角剖分，即在給定的規則下將曲面分割成三角形，創建三角形網格 。曲面的三角剖分在數值分析和圖像處理中有重要應用 。瑟斯頓研究了一類有趣的二維球面的三角剖分，這種剖分剛好有12個價（valence，度）為5的頂點，其他所有頂點的價為6 。Branko Grünbaum和Theodore Motzkin證明了在對偶情形下（與球面上有12個五邊形和一些六邊形的富勒烯圖相對應），對于6價頂點的每一種可能的數目（1除外），都存在相應的三角剖分 。

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