1. 首頁 > 生活百科 > >

菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想( 三 )

生活百科


菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想

文章插圖
圖3. 畫在平面上的褲子 | 來源：Wikipedia
數學發展的一個方面體現在，能以某種方式區分以前認為是相同的事物 。因此，新的修飾詞不斷被加到流形這個術語前面，以區分不同類型的曲面 。例如，我們討論2維流形、3維流形、雙曲流形、以及上面提到的各種類型的流形 。雙曲流形的每個點周圍的區域類似某個維數的雙曲空間 ?？臻g可以用不同的方式區分，例如曲率 。歐氏空間的曲率為零，而雙曲空間則具有負曲率 。在歐氏平面幾何中，經過直線外一點有且僅有一條平行線，而在雙曲平面中，經過直線外一點有許多條平行線 。瑟斯頓的研究領域就包括雙曲流形和空間 。
曲面的另一個屬性是可定向性，這個概念關系到能否在曲面上保持一致的方向感 。圖4是著名的莫比烏斯帶，它就是不可定向的 。將長條（例如長30cm、寬5cm）的兩端粘到一起，可以得到圓柱曲面，這是可定向的雙面曲面 。如果將其中一條短邊翻轉后再粘到一起，得到的就是莫比烏斯帶，它只有一個面，不可定向 。另外請注意這個曲面有“邊”，這一點與球面不同 。
菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想

文章插圖
圖4. 不可定向的曲面：莫比烏斯帶 。如果一只螞蟻在莫比烏斯帶上一直向前爬行，它可以從帶子的一面繞到另一面，而無需跨越帶子的邊界 。| 來源：Wikipedia
圖5是著名的克萊因瓶曲面，以它的發現者Felix Klein的名字命名 。克萊因瓶也是不可定向的，而且它不能在沒有自相交的條件下嵌入3維空間，不像莫比斯帶能嵌入3維空間 。
菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想

文章插圖
圖5. 克萊因瓶 | 來源：Wikipedia
圖6中不可定向的2維流形是一個被研究得很多的幾何對象——沒有自相交不能嵌入3維空間的實射影平面 。平面幾何的3種基本類型是歐氏幾何、雙曲幾何（也稱為羅氏幾何）和實射影平面 。實射影平面是點和線遵循如下性質的一種結構，即任意兩條不同的線必須相交于一點 。
菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想

文章插圖
圖6. 實射影平面 | 來源：Wikipedia
在看過一些不同的2維流形曲面的例子之后，我們再看一個不是流形的例子，或許有助于加深理解 。圖7是一個圓錐體的兩個錐盆，它們相交于三條紅線的交點 。在這一點，曲面沒有一個以該點為中心的開歐氏球，所有其他的點都很好！不過兩個錐盆分開后卻都是2維流形 。
菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想

文章插圖
圖7. 在三條紅線的交點，曲面沒有一個以該點為中心的開歐氏球，因而這是一個不是流形的曲面 。| 圖片來源：Wikipedia
順便說一下，也有1維流形 。平面上的圓或開線段就是1維流形 。數字8或無窮符號∞則不是1維流形，因為在自交點處，這兩個集合的局部不是1維開球 。
龐加萊猜想
【菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想】如何界定一個拓撲的2維歐氏圓？拓撲圓的一個基本性質是它們把平面劃分為三個集合：拓撲圓上的點、圓內部的點和圓外部的點 。簡單的閉合曲線——拓撲圓的另一個名稱——遵循這個性質似乎極為明顯，以至于在很多年里都沒有基于更基礎的幾何學來證明這是正確的 。最后是法國數學家若爾當（Camille Jordan，1838-1922）付諸行動，這個結果被稱為若爾當曲線定理：簡單閉曲線是拓撲圓，與歐氏圓同胚 。
菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想

文章插圖
若爾當曲線定理說明，每一條若爾當曲線都把平面分成一個“內部”區域和一個“外部”區域，且任何從一個區域到另一個區域的道路都必然在某處與環路相交 。若爾當曲線定理表面上似乎是十分顯然的，但要證明它卻十分困難 。| 來源：Wikipedia
人們最初認為，把拓撲圓的概念推廣到3維空間與球面同胚的曲面是輕而易舉的事情 。然而，數學家們逐漸認識到，要將圖形的屬性轉換到不同維度的空間并不是那么容易 。例如，如果兩個簡單多邊形（多邊形的邊相交的地方是一個頂點）的面積相同，那么總有辦法將其中一個多邊形切割成有限數量的簡單凸多邊形碎片，然后將這些碎片重新組合成另一個多邊形，就像玩拼圖一樣 。然而，希爾伯特（1862-1943）的一個學生，也對曲面理論做出了重要貢獻的Max Dehn（1878-1952），證明了這個定理的3維版本并不成立（這也是希爾伯特23個問題中的第三個） 。也就是說，不可能把立方體切割成有限數量的凸多面體塊，然后重新組裝成同樣體積的正四面體 。因此，研究流形和曲面拓撲的數學家對維度轉換后2維對象的基本性質能否保留持謹慎態度 。

推薦閱讀