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菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想( 二 )

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瑟斯頓學術生涯的第一年在普林斯頓高等研究院，然后去了MIT擔任助理教授，之后在普林斯頓大學擔任教授 。1991年瑟斯頓離開普林斯頓回到加州大學伯克利分校 。兩年后，他成為伯克利數學科學研究所（MSRI，成立于1982年）所長 。MSRI以多種形式促進數學發展，包括定期舉辦研討會和持續一個學期的學術交流，期間就某一特定主題邀請學者訪問和研討 。主題可能是傅里葉分析、解析數論、或者幾何和拓撲組合學 。選定的主題涉及廣泛的數學領域及其應用 。在瑟斯頓領導MRSI期間，他積極推動研究所擴大活動范圍，并熱衷于促進公眾對數學的認識 。
1997年瑟斯頓離開MRSI去了加州大學戴維斯分校，2003年去了康奈爾大學 。2011年，他被診斷患有黑色素瘤，2012年去世 。為了紀念他，2014年在康奈爾舉行了一次會議 。
除了菲爾茲獎，瑟斯頓還獲得過許多榮譽，包括維布倫幾何獎（1976年）和Leroy Steele獎（2012年） 。2005年，瑟斯頓的《三維幾何和拓撲學》（Three-dimensional Geometry and Topology）獲得了第一屆美國數學學會圖書獎 。這本書所依據的講義已流傳多年，在成書之前就影響了許多人 。
前面說過菲爾茲獎只頒給40歲以下的人 。當然，菲爾茲獎得主在獲獎后繼續做出精彩的成果是很常見的，瑟斯頓就是如此 。有一些數學家則因其最好的工作是在40 歲以后完成而錯過菲爾茲獎 。后來又有了一些沒有年齡限制的頂級獎項，例如邵逸夫獎、阿貝爾獎和沃爾夫獎 。
瑟斯頓和流形
數學有許多領域，例如代數和幾何，但是通常很難界定特定的數學“屬于”哪個領域，因此，人們會談論幾何代數和代數幾何 。雖然大多數人視瑟斯頓為拓撲學家，但他也研究幾何學，他的一些工作被描述為幾何拓撲學 。
幾何和拓撲學家對曲面感興趣 。我們熟悉各種曲面，比如平面、球面、錐面和甜甜圈（環面） 。流形是一類特殊的曲面，從其上的每一點看來，臨近的區域都類似歐氏空間 。更準確地說，流形具有如下性質：流形（曲面）的每一點都位于一個集合的中心，這個集合拓撲等價于一個（開）歐氏球 。歐氏球是與給定點的距離小于或等于某個給定實數r（球的半徑）的點集 。它有兩種形式，開球只包含距離嚴格小于r的點，而閉球還包含距離等于r的點 。例如，圓的內部是一個2維開球，也稱為開圓 。因此，2維流形是有如下性質的曲面，在其每一點都能找到一個（可能的）小集合拓撲等價（同胚）于一個位于那一點的開圓 。
如果存在從集合X到集合Y的一對一連續映射函數，并且反函數也是連續的，則稱X拓撲等價或同胚于Y 。從拓撲學的角度看，正方形、五角星、橢圓和歐氏圓都是拓撲等價的 。請注意，其中一些是光滑曲線，另一些則有角 。也有一些人將拓撲描述為橡皮幾何學：如果一個集合不經切割或撕裂就能變換為另一個集合，那么兩者就是拓撲等價的 。簡而言之，同胚是“拓撲等價”的專業術語 。

菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想

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菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想

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在拓撲學中，一個杯子和一個甜甜圈（實心環面）是等價的，一頭母牛和一個球面也是等價的 。| 來源：Wikipedia
數學家們在研究流形時會尋找那些幫助我們理解流形結構的定理 。圖1展示了一系列2維流形，這些曲面（都是有界的）上的任意點的周圍，都有一個小集合等價于一個2維圓內部的拓撲拷貝 。圖中曲面包含的孔的數量各不相同，中間的曲面有1個孔，我們稱它的虧格為1 。你也許能想出辦法，將中間曲面的多個拷貝連接到左邊的曲面，以得到最右邊的曲面 。
菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想

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圖1. 包含零個孔、一個孔和多個孔的曲面 。| 來源：Manifold Atlas Project
應該怎樣對流形分類呢？一個自然的選擇是依據流形的維度，比如上面我們看到了球面和環面這類經常遇到的2維流形 。除此之外，還有連通、有界、平滑（可微）和緊致的流形，以及有邊界的流形 。所有這些都是用來刻畫特定類型流形的特殊屬性 。圖2展示的曲面被稱為3維空間中的褲子 。
菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想

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圖2. 這個曲面被稱為3維空間中的褲子 。| 來源：Wikipedia
我們也可以考慮在平面上繪制的褲子，如圖3所示 。在不同的設定下觀察同一個“對象”，可以幫助我們更深刻地認識對復雜曲面進行區分的一般性原則 。請注意，圖中的紅色圓圈不是所關注的曲面的一部分 。如果我們在曲面加上紅圈會發生什么？每個點仍然是某個拓撲圓的中心嗎？拓撲學家可能感興趣的問題是，如果將褲子作為部件拼接起來，得到的曲面會有多少種變體 。

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