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幾何直觀是數學思想嗎 數學中的直觀主要包含三種

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在數學教程中如何給出定義，經常是值得研究的 。好的定義應當揭示概念的本質，是“what”層面的，而不是“how”層面的 。撰文|姜樹生本文所討論的數學問題，主要與數學教育有關 。對于一個數學概念的理解，直觀、定義與表達這三個方面都是需要的，但有各不相同

幾何直觀是數學思想嗎 數學中的直觀主要包含三種

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在數學教程中如何給出定義，經常是值得研究的 。好的定義應當揭示概念的本質，是“what”層面的，而不是“how”層面的 。
撰文 | 姜樹生
本文所討論的數學問題，主要與數學教育有關 。
對于一個數學概念的理解，直觀、定義與表達這三個方面都是需要的，但有各不相同的作用 。
在小學數學的初級教程（具體說就是自然數的認識）中，這三個方面是混合在一起的，既要有直觀（從扳著手指頭數數開始，實際上要做很多實驗），又要學記數法（進而就可以計算），最終要形成自然數的概念 。在這個過程中，難免有不適當的做法，甚至走彎路、犯錯誤，但如果最終形成了自然數的概念，在學習過程中有些缺點出些錯誤都無可非議 。就如孩子學走路，難免跌跌爬爬，磕磕碰碰，甚至受點傷，但只要最終學會走路就行 。
然而近年來，有些自以為高明的教學法，從很小就教孩子學習記數和計算，不重視甚至忽略直觀 。其結果可能使得孩子在速算比賽中獲獎，但卻不能自覺地應用數學解決生活中的問題，更沒有培養創新能力 。其實只是一種虛榮而已 。
到了中學數學教程中，上述三個方面逐漸分開，教學法與小學有顯著的不同 。
首先來看無理數的概念 。在早年的大多數教科書以及當今的一些教科書中基本上是這樣講的: 首先以例子說明無理數存在，具體說就是有的“數”不等于兩個整數的比，最常見的是邊長為 1 的正方形的對角線的長度（有的教科書中給出其無理性的證明） 。認識到無理數的存在，就可以進一步形成實數的概念，即有理數與無理數的全體 。至于無理數表達為無限不循環小數，很多教科書是不講的，或者僅舉具體的例子讓學生體會 。這樣的講法盡管沒有給出實數的定義，卻是適合大多數學生 。實際上大多數人一輩子也沒見過實數的定義，但這并不妨礙他們在工作中使用實數，因為數學的嚴謹性是由數學家保證的，一般人盡可以放心大膽地使用 。
但是，如果有學生問“什么是無理數”，準確地說就是不滿足于直觀，希望從根本上搞清楚實數的概念，教師應該怎樣回答呢？這樣的學生是千里挑一，而能回答這樣問題的中學教師也是千里挑一 。問題僅在于千里挑一的學生能否遇到千里挑一的老師 。
有的老師會回答說：“無理數就是無限不循環小數”，在有些教科書或課外書中也看到這樣的“定義” 。然而，“無限不循環小數”只是無理數的一種表達方式，而不能作為定義 。從哲學上說，任何一個定義必須是針對一個客觀存在的對象,否則就可能落入邏輯陷阱 。（一個典型的例子就是“所有集合的集合”，若引入這個“定義”，整個數學體系就崩潰了 。）首先需要明白實數是一種客觀存在，然后才能談它的表達 。
有效的實數定義至少有兩個，一是用戴德金分割，一是用基本敘列 。兩個定義是相互等價的，但風格迥異，前者幾何味較濃，后者代數味較濃 。（從數論的眼光看，實數是整數在“阿基米德位”的局部化 。）要想理解實數的實質，最好兩個定義都讀懂（若能從數論的角度理解當然更好） 。但這兩個定義都頗不簡單，而且定義后還要建立各種運算、大小關系、極限等 。對于一般的中學生甚至大學生，難度都是相當高的 。因此，在中學數學教程和大學高等數學教程中不引入實數的定義，是明智的 。
但若在中學或大學數學教程中以“無限不循環小數”作為無理數的定義，則是非常不明智的，非但不能使學生明白，反而會使很多學生誤以為懂了 。如 [4] 中所說:
“不怕不懂，就怕不懂還自以為懂 ?！?br /> 再來看平面幾何 。在幾何教科書中有很多定義，但這些定義都不是“原始”的，原始的概念如點、直線、平面等都是只有直觀沒有定義的，但它們由公理體系界定 。用現代的語言，幾何對象可以定義為滿足一些條件 (公理) 的若干集合所組成的體系 。硬要定義直線、平面等是不會有好結果的，所幸還沒聽說有這樣的教科書 。
不過在現行中學數學統編教科書中，很多幾何概念的定義有嚴重缺陷，例如把直觀當作定義，或語義含混 (詳見 [2]) 。

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