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幾何直觀是數學思想嗎 數學中的直觀主要包含三種( 三 )

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其實向量空間的概念并不算很“抽象”，國外一些大學本科代數教科書是先講群論后講線性代數，顯然比我國的線性代數或高等代數教科書更“抽象” 。另一方面，我國現在的中學生都要花很多工夫學集合，但從教科書上看不到有什么用（除了刷題） 。若是對于向量空間概念的高明之處有所領悟，至少會覺得集合是有用的 。所以，至少有一部分學生理解向量空間并無困難 。而對于有困難的學生，需要教育者的耐心，例如可以采取如下的途徑講授 。
注意學生在解析幾何中學過平面向量和空間向量，而且知道一些物理應用 。在初等的數學和物理教科書中一般會講向量的直觀，即“既有大小又有方向的量”，而且較好的教科書中還會指出，這只是一種直觀，并非既有大小又有方向就是向量 (例如電流) 。學生通過物理意義可以對向量有正確的理解，盡管還沒有向量空間的概念 。那么，從向量的這些直觀概念推進到一般的向量空間，本質上只是維數可以不受限制 。因此，可以先復習解析幾何中的平面向量和空間向量，包括它們的直觀意義和物理應用，然后系統地復習和整理向量的運算，再復習和整理向量在直角坐標系下的表達 。然后舉例說明高維的向量也是有數學和物理意義的 。由此引導到一般的向量空間，就不很“抽象”和難于理解了 。當然這需要多花費一些時間，但對于后面的學習是有利的 。

幾何直觀是數學思想嗎 數學中的直觀主要包含三種

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還值得指出，一般不能說定義的對錯（Yuri Zarhin 曾無奈地說: “Well，every definition is correct”），只能說定義的優劣 。一個好的定義能夠揭示客觀存在或自然規律，啟迪思維，引導有意義的研究方向 。在極端的情形，甚至一個好的定義就解決了問題 。遺憾的是很多定義有缺陷 。有的教科書將直觀當作定義，毫無科學嚴謹性可言，有些還頗為費解，或語義含混，或幾乎是同義反復（參看 [2]），這些都是誤人子弟 。有些定義雖然嚴謹，但沒有背景，不自然（有人為設置的條件），在極端的情形甚至所定義的東西根本不存在 。盡管由這樣的定義可以推導出一些定理，可以寫論文發表，但對科學并無貢獻，也不會有應用，只是邏輯游戲而已 。還有一類情形，雖然所定義的對象是客觀存在且值得研究的，但定義的條件復雜或費解（如上面所說的將表達作為定義），尤其不利于初學者 。其中有些還可能導致偏見或心理障礙 。
由上所述可見，在數學教程中如何給出定義，經常是值得研究的 。這是張景中先生所說的“教育數學” (參看 [6]) 的一個課題 。
參考文獻
[1] 姜樹生: 談數學教育的特殊性——兼談如何處理數學與教育學的關系. 數學通報 2008 年第 4 期
[2] 姜樹生: 現行統編中學數學教科書有多爛 (2016)
[3] 李克正: 《抽象代數基礎》，研究生數學叢書 6. 清華/Springer 出版社 (2007)
[4] 李克正: 現代社會對于勞動者的數學素質的需求 (2019)
[5] 其故: 得數學者得天下. 返樸網 (2019)
【幾何直觀是數學思想嗎 數學中的直觀主要包含三種】[6] 張景中: 談談教育數學 (2021)

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