回過頭來再看實數的概念 。非常值得一提的是數軸的直觀 。將實數理解為數軸上的點，對于大多數學生是理解實數（包括無理數）的一個有效途徑 。有了無理數的例子，再有數軸的直觀，對于普通學生就可以有效地講授實數概念 。換言之，幾何直觀是理解實數的一個有效途徑，對于中學生是不可或缺的 。
對于多數學生有較高難度的定義還有一些，如概率 。對于這類概念，只講直觀而不講定義，常常是明智的 。但常常還需要給出表達方式，并進一步給出“操作”（如計算）方法 。這樣學生就能夠運用這些概念，做出有創新性的工作，盡管可能最終也沒有完全搞懂某個概念 。此外，通過應用也有可能提升對于概念的理解 。
簡言之，如果學生能理解，直接講定義對于建立數學概念最有效；而若大多數學生不能理解，最起碼也不應該講假的定義，或者忽悠學生 。
在大學數學教程中也有定義方面的問題 。
先來看微積分教程 。隨便找一本微積分（或數學分析）教科書，就會看到其中積分（黎曼積分）的定義頗不簡單 。在數學分析教程中，一元函數的積分定義為一個頗不平凡的極限，判別其存在性還要用到達布和等，相當復雜而費解 。在非數學專業的微積分教程中，這部分內容只是簡化了些（實際上是偷工減料），復雜度基本未變，所以未必比數學分析教科書容易懂；但另一方面，對這些內容都不會布置作業，更不會考試（包括研究生入學考試），徒然浪費時間且讓學生頭疼 。
順便指出，各版本中學教科書中的積分概念也是這樣寫的，對于中學生當然就更頭疼了，甚至很多中學教師也看不懂 。
學過實變函數論就知道，一元函數黎曼可積等價于幾乎處處連續，直觀地說，其實離連續函數沒多遠 。在黎曼積分的應用中實際上主要是針對連續函數，至多是分段連續函數 。對于一般的學生，由黎曼積分其實只是學到面積的一個定義，何況這還不是一般的定義，例如一條一般的約當單閉曲線所圍成的區域的面積，就不能用黎曼積分來定義（在康妥的時代就知道，曲線可能有非零的面積） 。所以，花了那么多的時間那么大的功夫學黎曼積分，只是學到一個特殊情形的面積定義而已 。然而，一般人都有面積的直觀，并不需要面積的定義 。（如果關心面積的定義，可以看勒貝格積分或更一般的定義，如動力系統中對于維數和測度的定義 。）因此，為了理解積分的概念，至少對大多數學生，不如局限于連續函數的積分 。
如果將連續函數的積分定義為“有向面積”，就很容易理解且不需要花多少功夫 。具體說，對于閉區間 [a, b] 上的連續函數 f(x)，由直線 x=a，x=b，y=0 和曲線y=f(x) 圍成的圖形具有面積，將直線 y=0 上方的面積看作正的，下方的面積看作負的，這樣得到的總面積稱為有向面積 。將 f(x) 在 [a, b] 上給出的有向面積稱為它的積分，記為
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由此定義不難證明牛頓-萊布尼茲公式
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而積分的一些其他基本性質如
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(r, s為實數)，分部積分法、換元法以及一些初等函數的積分等，利用牛頓-萊布尼茲公式都很容易證明 (有些甚至可以作為習題) 。利用張景中先生制作的輔助軟件，一堂課就足以講清楚積分的基本概念和牛頓-萊布尼茲公式，這已經超過中學課程標準的要求了 。至于黎曼積分的原始思想——分割成豎條作面積和再取極限，可以直觀地講一下，不講也可以，不需要花費很多課時，其實只有少數學生會關注 。
再來看線性代數教程 ?！跋蛄俊笔亲钪匾幕靖拍钪?。在目前所見到的很多教科書 (其中有些是早年的) 中，向量定義為有序數組 。這樣的定義不僅費解 (與解析幾何中的定義相距甚遠)，而且向量的運算還要另外定義 。一般說來，要直到學了很多內容后才明白向量是什么 。
這樣的定義有明顯的缺陷，沒有揭露向量的本質 。詳言之，有序數組是向量在取定的坐標系下的表達，是“how”層面的，而好的定義應該是“what”層面的 。
從“what”層面看，向量就是向量空間的元素，脫離向量空間來討論向量是沒有意義的 。向量的運算，都涉及多個向量以及它們之間的關系 。所以，要明白什么是向量，歸根結底要明白向量空間 。
然而，很多線性代數教科書中根本就沒有向量空間 。即使有，很多教師也不講 。常見的理由是，向量空間太“抽象”，學生難以理解 。那么，基于向量空間的很多概念和定理，當然就更不能講了 。
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