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全等三角形如何判定？ 全等三角形( 二 )

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例:如圖1-1-1:D和e是△ABC中的兩點，驗證:ab+AC > BD+de+ce 。

(方法1)證明:將DE的兩邊分別延伸到AB，AC延伸到M和N 。In △AMN，AM+AN > MD+DE+NE；(1)
在△BDM，m b+ MD > BD；(2)
在△CEN，cn+ne > ce；(3)
從(1)+(2)+(3):
AM+AN+m b+ MD+CN+NE > MD+DE+NE+BD+CE
∴AB+AC>BD+DE+EC

(方法二)如圖1-2，將BD延伸到AC延伸到F，將CE延伸到BF延伸到G包括△ABF、△GFC和△GDE:
B+AF > BD+DG+GF(三角形兩邊之和大于第三邊)(1)
Gf+fc > ge+ce(同上)(2)
DG+GE > DE(同上)(3)
從(1)+(2)+(3):
a b+ AF+GF+FC+DG+GE > BD+DG+GF+GE+CE+DE
∴AB+AC>BD+DE+EC 。
三
當三角形的外角大于與其不相鄰的任何一個內角時，如果不能直接證明，可將兩點相連或延伸某一邊構成三角形，使待驗證三角形的大角位于外角，小角位于三角形的內角，然后利用外角定理:
比如如圖2-1所示:已知D是△ABC內的任意一點，驗證∠ BDC > ∠ BAC 。

解析:由于∠BDC和∠BAC不在同一個三角形內，沒有直接的聯系，我們可以適當添加輔助線來構造一個新的三角形，使∠BDC在外角，∠BAC在內角 。
方法一:將BD延伸到E點AC，當∠BDC為△EDC的外角時，
∴ ∠ BDC > ∠ DEC，類似地∠ DEC > ∠ BAC，
∴∠BDC>∠BAC
方法二:連接AD，將BC擴展到f 。
∫∠BDF是△ABD的外角 。
∴ ∠ BDF > ∠ Bad，同理，∠ CDF > ∠ CAD
∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD
也就是∠ BDC > ∠ BAC 。
注意:用三角形外角定理證明不等式時，通常是把大的角放在三角形的外角上，把小的角放在三角形的內角上，然后用不等式性質來證明 。
3.中點的輔助線
在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊的中點，那么首先要想到三角形的中線及其相關性質(等腰三角形底的中線性質)，然后通過探索找到解決問題的方法 。
(1)中線將原三角形分成兩個面積相等的小三角形 。
即如圖1所示，AD是δABC的中線，那么sδABD = sδACD = 1/2sδABC(因為δABD和δACD在同一底同一高) 。

1如圖2，ABC，其中AD是中線，將AD延伸到E，使DE=AD，DF是δDCE的中線 。已知δδABC的面積為2，求δδCDF的面積 。
(2)雙倍長度中線
給定中點和中線，就要想到倍長中線 。根據中線的性質，一條中線平分中點所在的線段，可以得到一組等邊和對角，從而得到一組全等三角形 。如圖，將AD擴展到E，使AD=AE，連接BE 。

4.其他輔助線做法
(1)延伸已知邊以構建三角形
在一些三角形問題中，將一些兩條線段(邊)的交點延伸形成封閉圖形，可以發現更多的相等關系，有助于解題 。
4.如圖4，在△ABC中，AC=BC，∠B = 90°，BD為∠ABC的平分線 。如果從A到直線BD的距離是A，求BE的長度 。

將AD和BC的交付擴展到F，
∠∠DAE+∠AED = 90，∠CBE+∠BEC=90，∠AED=∠BEC，
∴∠DAE=∠CBE，
∫∠ACF =∠BCE = 90，AC = BC，
∴△ACF≌△BCE，
∴BE=AF，
∠∠ABD =∠FBD，∠ADB=∠FDB=90，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD，
∴ AD = FD = 1/2AF，AD是a
∴BE=2a
(2)連接四邊形的對角線，把四邊形的問題變成三角形來求解 。
比如如圖8-1所示:AB∨CD，AD∨BC:AB = CD 。

解析:圖片是四邊形 。我們只學過三角形，必須轉化為三角形同余才能求解 。
(3)連接已知點，構造全等三角形 。
例如:已知:如圖10-1所示；AC和BD相交于o點，ab = DC，AC = BD，證明:∠ a = ∠ d
解析:要證明∠ A = ∠ D，可以證明其所在的三角形△ABO和△DCO是同余的，但只有兩個條件，AB = DC和頂角，用一個條件很難證明它們的同余，只好另找一個三角形同余，即AB = DC，AC = BD，△ AB=DC和△若BC連通 。

(4)取線段的中點，構造全等三角形 。
例如，如圖11-1所示:AB = DC，∠ A = ∠ D .證明:∠ ABC = ∠ DCB 。

解析:從AB = DC，∠ A = ∠ D，認為如果取AD的中點N，連接NB和NC，那么SAS公理有△ABN?△DCN，所以BN = CN，∠ ABN = ∠ DCN 。只要證明∠ NBC = ∠ NCB，然后取BC的中點M，連接MN，那么由SSS公理就有△NBM?△NCM，所以∠ NBC = ∠ NCB 。問題證明了 。
【全等三角形如何判定？ 全等三角形】

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