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驚！學了這么久的追及問題，其實竟是牛吃草

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驚！學了這么久的追及問題，其實竟是牛吃草

文章插圖
有家長提問——
甲乙兩車分別從AB兩地同時出發同向而行，乙在前甲在后，若甲車以2倍原速去追需5小時追上乙車，若甲車以3倍原速去追則需3小時，那么甲車以原速去追需幾小時？
他說——
孩子說這道題可以列算式“(2×5-3×3)÷2”去求乙車車速，我問他為什么，他講了一通我還是聽不明白，關鍵是，這個速度的單位是什么呀？請教一下⑨老師，這樣列算式對嗎？
1、先做一道經典牛吃草問題，理解“總消耗=總生長”模型；
2、再回到本題，把追及問題中的“路程差”“乙速”“甲速”“速度倍數”“小時數”分別轉化為牛吃草問題中的“原草”“草速”“牛速”“頭數”“天數”；
3、先設甲按照原速每小時走1份路程，然后按照牛吃草問題的標準解法列算式求出“草速”（乙速）和“原草”（路程差）；
4、最后回到追及模型，用“路程差”除以“速度差”求得“追及時間”.
1、以上是一道經典的牛吃草問題，做題前先厘清以下概念：
原草——牛吃草之前就已經存在的若干“份”草
草速——草地每天新長出幾“份”草
牛速——1頭牛1天吃1“份”草[1]
總消耗——若干頭牛連著吃若干天所吃的草量
總生長——原來就有的草量加上牛吃草過程中新長出的草量
2、解決牛吃草問題的數學模型為“存量輸入輸出模型”[2]，該模型符合一個等式——
總消耗=總生長
等式具體展開變為——
牛速×頭數×天數=原草+新草
牛速×頭數×天數=原草+草速×天數；
3、從第2條的等量關系可以看出，牛兒們吃完草地上的所有草時，它們的胃里裝的不僅僅是最開始草地上所有的草（原草），還有它們吃草的這些天新長出來的草（新草）；
4、那么請思考：同一塊草地5天吃光與3天吃光，哪一種吃法吃的草的總量更多？
5、同一塊草地的原草肯定是一樣的，所以初學者往往會以為無論吃5天還是吃3天都吃了一樣多的草，這時無需多解釋，直接通過計算來比較——
（設每頭牛每天吃1份草）
①“2頭牛吃5天”共吃了1份/頭·天×2頭×5天=10份草
②“3頭牛吃3天”共吃了1份/頭·天×3頭×3天=9份草
通過①②比較，我們發現5天吃的草量會比吃3天的多；
6、那么請思考：同一塊草地的原草一樣多，為什么“吃5天”就會比“吃3天”吃的草量多呢？
7、這樣問就算是初學者也能想明白——這是因為兩種吃法所吃的“新草”的量不同，而新草與天數正相關：新草=草速×天數，即，同一塊草地在全部吃光前花的時間越久，能吃到的新草就會越多；
8、以上定性比較完成后，接下來是定量的差量分析[3]：
第5條中情況①“吃5天”與情況②“吃3天”所吃的草量相差10份-9份=1份——
為什么會相差這1份呢？
如果都是吃3天還會相差這1份草嗎？
9、相差1份草的原因顯然不是原草而是新草，而吃5天與吃3天的“前3天”也必定是一樣多的新草，那么唯一的不同就在于“吃5天比吃3天多吃了2天”——
正是因為多吃了2天，所以讓草地多長了2天的新草！
10、第5條中情況①“吃5天”與情況②“吃3天”所吃的草量相差的1份來自于多長2天的新草，那么1天所長的新草（草速）即可求出——
草速：(1份/頭·天×2頭×5天－1份/頭·天×3頭×3天)÷(5天-3天)=0.5份/天
11、總消耗=原草+新草
原草=總消耗-新草
原草=牛速×頭數×天數-草速×天數[4]
原草=1份/頭·天×2頭×5天-0.5份/天×5天
原草=10份-2.5份
原草=7.5份
12、題目最后問的是“如果讓1頭牛來吃，吃光草地需幾天”，考慮每一天的“消耗”與“生長”，每天1頭牛會吃1份草，而每天草地又會長出0.5份新草，所以每天牛在消耗了新草之后，只能吃掉1份-0.5份=0.5份原草，而原草一共有7.5份，全部吃光需要幾天：
天數=7.5份÷(1份/天-0.5份/天)
天數=7.5份÷0.5份/天
天數=15天
答：如果讓1頭牛來吃，吃光草地需15天.
1、以上是一道行程問題中的追及問題，做題前先厘清以下概念：
路程差——甲開始追乙之前就已經存在的AB之間路程，這段路程恰好等于“甲從A出發到追上乙所走的路程”減去“乙從B出發到被甲追上所走的路程”
乙速——被追者每小時走的路程，這個速度用來“新增”兩人的差距
甲速——追逐者每小時走的路程，這個速度用來“吃掉”兩人的差距

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