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驚！學了這么久的追及問題，其實竟是牛吃草( 二 )

生活百科路程


速度差——速度差等于甲速減乙速，速度差代表兩人差距每小時縮短的距離，只有當速度差大于0時甲才追得上乙
追及時間——甲乙同時出發后甲追上乙所經歷的時長
2、根據以上概念不難得出追及模型公式[5]——
路程差=速度差×追及時間
3、接下來我們把以上追及問題中的概念分別轉化為牛吃草問題中的術語：
甲速→牛速——設甲以原速每小時走1份路程
路程差→原草——甲開始追乙之前就已經存在的若干“份”路程
乙速→草速——在原有路程差基礎上，乙每小時新增若干份的路程用來拉開與甲的差距
追及小時數→天數——甲需要幾個小時把兩人差距“吃光”
原速倍數→頭數——設甲原速每小時行1份路程，則2倍速每小時行2份，3倍速每小時行3份，類似于一頭牛每小時吃1份草，兩頭牛每小時吃2份草，三頭牛每小時吃3份草
天數→小時數——都是時間單位
4、然后套用牛吃草問題中的數學模型——
總追回（總消耗）=總差距（總生長）
以上等式具體展開變為——
甲速×速度倍數×追及小時數=原路程差+新增路程差
甲速×速度倍數×追及小時數=原路程差+乙速×追及小時數
5、通過畫行程圖可以看出，甲追上乙時，甲所走的路程不僅僅是最開始的AB距離（原路程差），還包含乙被追過程中所走的距離（新增路程差）；
6、通過上下對比行程圖中的情況①“2倍速追5小時”與情況②“3倍速追3小時”，可以發現甲在情況①比情況②多走了“乙的兩小格”[6]；
7、另一方面，我們通過計算來比較兩種情況下甲的路程——
（設甲以原速每小時走1份路程）
①“2倍速追5小時”甲共走了1份/倍·時×2倍×5小時=10份路程
②“3倍速追3小時”甲共走了1份/倍·時×3倍×3小時=9份路程
通過①②比較，我們發現第6條中情況①“追5小時”與情況②“追3小時”的路程相差10份-9份=1份；
8、那么請思考：為什么會相差這1份呢？如果都是追3小時會相差這1份路程嗎？
9、相差1份路程的原因顯然不是原路程差而是新增路程差，而追5小時與追3小時的“前3小時”也必定是一樣多的新增路程，那么唯一的不同就在于“追5小時比追3小時多追了2小時”——正是因為乙被多追了2小時，所以讓他多跑了2小時的路程！
10、既然情況①“追5小時”與情況②“追3小時”甲所走的路程相差的1份來自于乙多走2小時的新增路程差，那么1小時的新增路程差（乙速）即可求出——
乙速（草速）：(1份/倍·小時×2倍×5小時－1份/倍·小時×3倍×3小時)÷(5小時-3小時)=0.5份/時
11、總追回（總消耗）=原路程差（原草）+新增路程差（新草）
原路程差（原草）=總追回-新增路程差
原路程差（原草）=甲速×速度倍數×追及小時數-乙速×追及小時數[7]
原路程差（原草）=1份/倍·小時×2倍×5小時－0.5份/小時×5小時
原路程差（原草）=10份-2.5份
原路程差（原草）=7.5份
12、題目最后問的是“甲車以原速去追需幾小時”，考慮每小時甲乙差距的“追回”與“拉開”，甲以原速每小時追回1份差距，而每小時乙又拉開0.5份差距，所以每小時甲在抵消了新增差距之后，只能追回1份-0.5份=0.5份差距，而原路程差一共有7.5份，全部追回需要幾小時：
追及小時數=7.5份÷(1份/小時-0.5份/小時)
追及小時數=7.5份÷0.5份/小時
追及小時數=15小時
答：甲車以原速去追需15小時.
1、本文呈現了“行程體系中的追及問題”與“應用體系中的牛吃草問題”的共通之處——通過差量分析[3]找到單位時間的新增量，差量分析作為底層原理還廣泛存在于其他題型，推薦讀者自行總結；
2、通過引入牛吃草問題的默認假設：每頭牛每天吃1份草，將追及問題中的速度、路程份數化，突破了計算上的難點；
3、通過將經典牛吃草問題的若干概念映射到追及問題中，建立了“原草”與“原路程差”、“草速”與“乙速”、“牛速”與“甲速”等概念的對應，在對應中我們發現這些“概念”其實也是可替換的變量，不變的是更本質更通用的“數學模型”；
4、無論是“牛吃草”還是“n倍速追及”，都強調“數學模型”的建立與應用，何為“模型”，⑨老師的理解是“通過動態轉化實現某種功能的系統”——
①符合某個數學模型的問題中，具體的數據[8]或概念[9]是模型的“元素”，“元素”可以隨時改變數值或替換為新概念但不影響模型的“結構”

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