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勾股數是什么意思？

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勾股數是什么意思？

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勾股數又名畢氏三元數
凡是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數，稱之為勾股數 。
①觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…發現這些勾股數都是奇數，且從3起就沒有間斷過 。計算0.5（9-1），0.5（9+1）與0.5（25-1），0.5（25+1），并根據你發現的規律寫出分別能表示7，24，25的股和弦的算式 。
②根據①的規律，用n的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間的兩種相等關系，并對其中一種猜想加以說明 。
③繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過，運用上述類似的探索方法，之間用m的代數式來表示它們的股合弦 。
設直角三角形三邊長為a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，這是構成直角三角形三邊的充分且必要的條件 。因此，要求一組勾股數就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整數解 。
例：已知在△ABC中，三邊長分別是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求證：∠C=90° 。此例說明了對于大于2的任意偶數2n(n＞1)，都可構成一組勾股數，三邊分別是：2n、n2-1、n2+1 。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等 。
再來看下面這些勾股數：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…這些勾股數都是以奇數為一邊構成的直角三角形 。由上例已知任意一個大于2的偶數可以構成一組勾股數，實際上以任意一個大于1的奇數2n+1(n＞1)為邊也可以構成勾股數，其三邊分別是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，這可以通過勾股定理的逆定理獲證 。
觀察分析上述的勾股數，可看出它們具有下列二個特點：
1、直角三角形短直角邊為奇數，另一條直角邊與斜邊是兩個連續自然數 。
2、一個直角三角形的周長等于短直角邊的平方與短邊自身的和 。
掌握上述二個特點，為解一類題提供了方便 。
例：直角三角形的三條邊的長度是正整數，其中一條短直角邊的長度是13，求這個直角三角形的周長是多少？
用特點1解：設這個直角三角形三邊分別為13、x、x+1，則有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周長=13+84+85=182 。
用特點2解：此直角三角形是以奇數為邊構成的直角三角形，因此周長=169+13=182 。
勾股數的通項公式：
題目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均為正整數，求a,b,c滿足的條件.
解答：
結論1：從題目中可以看出,a+b>c （1）,聯想到三角形的成立條件容易得出 。
結論2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2）
從（2）中可以看出題目的關鍵是找出a^2做因式分解的性質，令X=c+b,Y=c-b
所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3）
首先將Y做分解，設Y的所有因子中能寫成平方數的最大的一個為k=m^2,所以Y=n*m^2 （4）
又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5）
比較(5)式兩邊可以a必能被m整除,且n中不可能存在素數的平方因子，否則與（4）中的最大平方數矛盾 。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 （6），X=n'*m'^2,且 n'為不相同素數的乘積
將（5）式與（6）式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,（n,n'為不相同素數的乘積） （7）
根據（7）知n*n'仍然為平方數，又由于n',n均為不相同素數乘積知n=n'(自行證明，比較簡單）
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'
[編輯本段]勾股數的常用套路
所謂勾股數，一般是指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數(a,b,c) 。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一個勾股數組(a,b,c)內的三個數同時乘以一個整數n得到的新數組(na,nb,nc)仍然是勾股數，所以一般我們想找的是a,b,c互質的勾股數組 。
關于這樣的數組，比較常用也比較實用的套路有以下兩種：
1、當a為大于1的奇數2n+1時，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1 。
實際上就是把a的平方數拆成兩個連續自然數，例如：
n=1時(a,b,c)=(3,4,5)
n=2時(a,b,c)=(5,12,13)
n=3時(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
這是最經典的一個套路，而且由于兩個連續自然數必然互質，所以用這個套路得到的勾股數組全部都是互質的 。
2、當a為大于4的偶數2n時，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分別減1和加1，例如：
n=3時(a,b,c)=(6,8,10)
n=4時(a,b,c)=(8,15,17)
n=5時(a,b,c)=(10,24,26)
n=6時(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
這是次經典的套路，當n為奇數時由于(a,b,c)是三個偶數，所以該勾股數組必然不是互質的；而n為偶數時由于b、c是兩個連續奇數必然互質，所以該勾股數組互質 。

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