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勾股數是什么意思？( 二 )

生活百科勾股


所以如果你只想得到互質的數組，這條可以改成，對于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2時(a,b,c)=(8,15,17)
n=3時(a,b,c)=(12,35,37)
n=4時(a,b,c)=(16,63,65)
... ...
========Edward補充========
對于N 為質因數比較多的和數時?？梢詤⒄掌滟|因數進行 取相應的勾股數補充，即1個N會有多對的勾股數,例如：
n=9時（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5)
n=12時（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*（3,4,5）
=========ShangJingbo補充=======
還有諸如此類的勾股數，20、21、29；
119、120、169；
696、697、985；
4059、4060、5741；
23660、23661、33461；
137903 137904 195025
803760 803761 1136689
4684659 4684660 6625109
……
已有三千年研究歷史的勾股定理還有研究的空間嗎? 我用本文試探索 。
勾 股 數
1． 定義：凡符合X＾2+Y＾2=Z＾2公式的正整數值我們稱之為勾股數 。X和Y是直角邊，Z是斜邊 。
2． 凡有公約數的勾股數我們稱之為派生勾股數，例[30，40，50] 等；
3． 無公約數的勾股數，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我們稱之為勾股數 。全是偶數的勾股數必是派生勾股數，三個奇數不可能符合定義公式 。因此，勾股數唯一的可能性是：
X和Y分別是奇數和偶數（偶數和奇數），斜邊Z只能是奇數 。
4． 勾股數具有以下特性：
斜邊與偶數邊之差是奇數,這個奇數只能是某奇數的平方數, 例1,9,25,49,……，至無窮大；
斜邊與奇數邊之差是偶數,這個偶數只能是某偶數平方數的一半, 例2，8，18，32，……，至無窮大；
5． 由以上定義我們推導出勾股公式：
X = P＾2 + PQ （X等于P平方加PQ）
Y = Q＾2/ 2 + PQ （Y等于二分之Q方加PQ）
Z = P＾2 + Q＾2 / 2 + PQ （Z等于P平方加二分之Q方加PQ）
6． 此公式涵蓋了自然界的全部勾股數，包括派生勾股數 。
7． 用此公式很容易導出全部勾股數，例如2000以內的勾股數計有320組,（不含派生勾股數） 。最大的一組是 [315, 1972, 1997]
8． 斜邊是1105和1885的勾股數各有4組：
[47，1104，1105] [264，1703，1105] [576，943，1105] [744，817，1105]；
[427，1836，1885] [1003，1596，1885] [1643，924，1885] [1813，516，1885]；
9． 以任意奇數代入P ，任意偶數代入Q ，即可得到唯一一組勾股數 。
例如P = 5 ，Q = 8 ，得到
X = 25 + 5×8 = 65
Y = 32 + 5×8 = 72
Z = 25 + 32 + 5×8 = 97
10． 它極清楚地顯示出了斜邊與偶數直角邊之差是奇數的平方，斜邊與奇數直角邊之差是偶數平方值的一半，而斜邊則是由奇數的平方與偶數平方的一半和此奇數與偶數之積三項之和所構成 。
11． 當P與Q有公約數時，例如9與12 ，再例如21與28等，推導出來的是派生勾股數；
當P與Q無公約數時，例如9 與8 ，再例如21與16等，推導出來的是勾股數；
12． 不存在不符合本公式的勾股數 。例如有人奉獻趣味勾股數[88209，90288，126225]，它實際 是個派生勾股數，它是[297，304，425]乘297倍而成，它是由P = 11和Q = 16導出 。
13． 本文所提供的公式是依據本文第4條的兩條勾股數特性規律推導而出，但是它可以與六百年前印度婆羅門笈多公式相互推導 。
14． 依據本公式勾股定理可從正整數拓展到負整數 。在笛卡爾座標圖上，勾股三角形可以在更大的位置上顯現 。
[編輯本段]勾股數公式及證明
a=2mn
b=m^2-n^2
c=m^2+n^2
證：
假設a^2+b^2=c^2，這里研究(a,b)=1的情況（如果不等于1則(a,b)|c，兩邊除以(a,b)即可）
如果a,b均奇數，則a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇數mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一個偶數 。不妨設a=2k
等式化為4k^2 = (c+b)(c-b)
顯然b,c同奇偶（否則右邊等于奇數矛盾）
作代換：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，顯然M，N為正整數
現在往證：(M,N)=1
如果存在質數p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 從而p|c, p|b, 從而p|a，這與(a,b)=1矛盾
所以(M,N)=1得證 。
依照算術基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均為偶數，p1,p2,p3...均為質數
如果對于某個pi，M的pi因子個數為奇數個，那N對應的pi因子必為奇數個（否則加起來不為偶數），從而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1與剛才的證明矛盾
所以對于所有質因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方數 。
設M = m^2, N = n^2
從而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得
勾股數是什么
勾股數又名畢氏三元數 凡是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數，稱之為勾股數 。為數學名詞 。

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