質數的規律是什么？

2026-05-10 生活百科質數

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質數的規律是在大于1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的自然數。指在一個大于1的自然數中，除了1和此整數自身外，沒法被其他自然數整除的數。換句話說，只有兩個正因數(1和自己)的自然數即為素數。比1大但不是素數的數稱為合數。
質數的作用
質數被利用在密碼學上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質數，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中（實為尋找素數的過程），將會因為找質數的過程（分解質因數）過久，使即使取得信息也會無意義。
在初等數學中有一個基本定理，任意一個大于1的自然數，要么本身就是質數，要么可以分解為幾個質數之積，這種分解本身就是具有唯一性的。
100以內的質數共25個，有一定規律的：100以內6的倍數前、后位置上的兩個數，只要不是5或7的倍數，就一定是質數。
也可以分為五類記憶：
第一類：20以內的質數，共8個：2、3、5、7、11、13、17、19 。
第二類：個位數字是3或9，十位數字相差3的質數，共6個：23、29、53、59、83、89 。
第三類：個位數字是1或7，十位數字相差3的質數，共4個：31、37、61、67 。
第四類：個位數字是1、3或7，十位數字相差3的質數，共5個：41、43、47、71、73 。
第五類：還有2個是79和97 。
質數的規律
什么是質數？就是在所有比1大的整數中，除了1和它本身以外，不再有別的約數，這種整數叫做質數，質數又叫做素數。這終規只是文字上的解釋而已。能不能有一個代數式，規定用字母表示的那個數為規定的任何值時，所代入的代數式的值都是質數呢？
質數的分布是沒有規律的，往往讓人莫明其妙。如：101、401、601、701都是質數，但上下面的301和901卻是合數。
有人做過這樣的驗算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有這樣一個公式：設一正數為n，則n^2+n+41的值一定是一個質數。這個式子一直到n=39時，都是成立的。但n=40時，其式子就不成立了，因為40^2+40+41=1681=41*41 。
被稱為“17世紀最偉大的法國數學家”費爾馬，也研究過質數的性質。他發現，設Fn=2^(2^n)，則當n分別等于0、1、2、3、4時，Fn分別給出3、5、17、257、65537，都是質數，由于F5太大（F5=14292967297），他沒有再往下檢測就直接猜測：對于一切自然數，Fn都是質數。但是，就是在F5上出了問題！費爾馬死后67年，25歲的瑞士數學家歐拉證明：F5=14292967297=641*6700417，并非質數，而是合數。
更加有趣的是，以后的Fn值，數學家再也沒有找到哪個Fn值是質數，全部都是合數。目前由于平方開得較大，因而能夠證明的也很少。現在數學家們取得Fn的最大值為：n=1495 。這可是個超級天文數字，其位數多達10^10584位，當然它盡管非常之大，但也不是個質數。質數和費爾馬開了個大玩笑！
17世紀還有位法國數學家叫梅森，他曾經做過一個猜想：2^p-1代數式，當p是質數時，2^p-1是質數。他驗算出了：當p=2、3、5、7、17、19時，所得代數式的值都是質數，后來，歐拉證明p=31時，2^p-1是質數。
還剩下p=67、127、257三個梅森數，由于太大，長期沒有人去驗證。梅森去世250年后，美國數學家科勒證明，2^67-1=193707721*761838257287，是一個合數。這是第九個梅森數。20世紀，人們先后證明：第10個梅森數是質數，第11個梅森數是合數。質數排列得這樣雜亂無章，也給人們尋找質數規律造成了困難。
現在，數學家找到的最大的梅森數是一個有378632位的數：2^1257787-1 。數學雖然可以找到很大的質數，但質數的規律還是無法循通。
頭五千萬個質數
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【摘要】不按牌理出牌數學家也拿他沒辦法
質數怎樣分布？古今中外，不論是專業的數學家或業余的嗜好者，都曾被這問題所深深吸引。
質數是個比1大的自然數，除了自身和1以外，沒有其他自然數可以除盡他。質數的分布有兩個互相矛盾的特點。下面我會列舉一些事實，使你永遠相信這兩個特點。
第一點，盡管質數的定義極為簡單，又是自然數的建構磚石（任何自然數都可表為質因數的冪次的連乘積，且表法唯一），它卻是數學家研究的對象中最不馴的一種；質數在自然數中，像雜草似地亂長，似乎除了機會律以外，不遵守其他的規律，沒人敢說下一個會從那里冒出來。

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