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質數的規律是什么？( 二 )

生活百科質數


第二點更令人驚訝，因?T篕P第一點相反，質數表現出驚人的規律性 。也就是說，確有規律限制質數的行為，他們像軍人一樣絕對服從這些規律 。
為了支持第一點，我把100以下的質數和合數寫出來（除了2以外，不列偶數）：
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再把1千萬加減一百以內的質數列出：在9,999,900與10,000,000之間的質數
9,999,901
9,999,907
9,999,929
9,999,931
9,999,937
9,999,943
9,999,971
9,999,973
9,999,991
在10,000,000與10,000,100之間的質數
10,000,019
10,000,079
你看！沒有什麼理由可以說這個數是質數，那個數不是質數 。當你看到這些數字時，是否聯想到宇宙的奧秘，像天邊那閃爍的星星一樣神秘不可測？甚至數學家都無法揭開此一奧秘，如果他們能夠，他們就不會勞神苦思去計算下一個更大的質數是多少了 。（沒有人會想去找比前一個平方數更大的平方數，或2的冪次數——通常一個好學生只記到210=1024） 。
1876年，Lucas證明2127-1為質數，這紀錄維持了75年 。這也難怪，因為
2127-1
=1701411834604469231731687303715884105727
直到1951年，電子計算機的新紀元，更大的質數陸續發現（見下表歷次記錄） 。目前的記錄是6002位的219937-1，不信的話，你可以去查Guiness世界記錄 。（編者注：根據合眾國際社1978年11月15日報導，這記錄已被兩個18歲的加州大學學生打破 。）
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質數的規律
更有趣的，還是關於質數的規律 。前面已提到過100以下的質數，現在用圖表示，其中π(x)表示所有不大於x的質數的個數 。
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【質數的規律是什么？】就這麼簡單的一個圖，我們已經可以看出，除了一些小的擾動以外，π(x)大致上增加得很有規律 。
若把x值從一百增到五萬，則此規律性變得更為明顯 。見下圖：
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當某種規律自然出現時，科學家就得設法去解釋它，質數分布的規律性也不例外 。關於質數分布，我們不難找到一個良好的經驗規律 。請看下表：（這表看來平凡無奇，卻代表上千小時的艱苦計算 。）
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注意：x每增10倍，x與π(x)的比就增加約2.3 。機警的數學家立刻聯想到10取自然對數的近似值是2.3 。所以x/π(x)～logx，亦即π(x)～x/logx（用log x表示x的自然對數，～表示當x接近無窮大時，π(x)與x/logx的比趨近於1；如果用≈，則表示接近的程度更好 。）
質數定理
這個關系叫做質數定理，是高斯1791年發現的，但直到1896年才得到證明 。高斯（1777～1855年，關於高斯與質數定理，請參閱凡異出版社，偉大數學家的一生——高斯）14歲那年收到一本對數的書；次年，研究書上所附的質數表，發現了這個定理 。終其一生，高斯一直很注意質數分布，并且花了很多功夫去計算 。高斯寫信給他學生安克（Encke）說他「時?；ㄙM零星的片刻計算1000個連續整數（如18001到19000）中有多少質數」，最后他竟能列出三百萬以下的所有質數，并且拿來和他的推測公式比較 。
質數定理說π(x)是漸近地，即相對誤差趨近於0，等於x/logx 。但是如果拿x/logx與π(x)的圖形加以比較，則可看出，雖然x/logx反映了π(x)行為的本質，卻還不足以說明π(x)的平滑性 。
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所以，我們希望找到更佳的近似函數 。如果我們再仔細看看前面那個表，會發現x/π(x)差不多恰為logx-1 。經過更小心地計算，并和π(x)的更精密數據相較，樂強何（Legendre）在1808年找到特佳的近似 。即
π(x)≈x/(log-1.08366)
另有一種π(x)的近似函數也不錯，是高斯與質數定理同時提出的 。從經驗得知，當x很大時，在x附近出現質數的或然率差不多恰為1/logx 。因此，π(x)差不多應為
對數和：Ls(x)=1/log2+1/log3+…+1/logx或實值上相同的
對數積分：【瀏覽原件】
現在再比較Li(x)與π(x)的圖形，把座標軸的尺度取到這麼大時，兩者完全重合 。
沒有必要再把樂強何的近似圖形列出來給大家看，因為在0到5萬之間，他的近似比Li(x)更加接近π(x) 。
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質數的冪次
再提一個π(x)的近似函數 。從黎曼（Riemann）研究質數的結果顯示，如果我們在計算質數以外，還計算質數的冪次（質數的平方算半個質數，質數的立方算1/3個質數，依此類推），則一個很大的數x為質數的或然率將更接近1/logx 。從此導出
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或
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第二式右邊的函數定名為R(x)以紀念黎曼 。從下表可以看出它與π(x)有驚人的吻合 。

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