1. 首頁 > 生活百科 > >

質數的規律是什么？( 三 )

生活百科質數


【瀏覽原件】
R(x)可以表為
【瀏覽原件】
在這里要強調一點，高斯和樂強何的近似都是由經驗歸納而來的，不是由邏輯證明得到的 。甚至黎曼函數也是如此，雖然他的R(x)有理論的解釋，他從未證明出質數定理 。Hadamard以及de la Vall'eePoussin根據黎曼的工作，繼續研究，終於在1896年首度完成證明 。
孿生質數
關於質數的規律性，我們再來看一些數值的例子 。前面說過，在x附近的一個數其為質數的或然率為1/logx 。換句話說，假使取一以x為中心，長度為a的區間，這區間長得足以使統計成為有意義，而與x相較，又足夠小時，其中質數的個數，應該約為a/logx 。例如，在壹億至壹億零壹拾伍萬之間，預計有8142個質數，因為
150,000/log(100,000,000)=150,000/18.427… ≈8142
根據同樣的想法，在x附近的任意兩數同時為質數的或然率應約為1/(logx)2 。所以如果有人問在x到x＋a之間有多少孿生質數（連續兩個奇數都是質數，如11,13或59,61），則我們可以預計有a/(logx)2個 。事實上，我們可以預計多些，因為n已是質數，使n＋2為質數的可能性稍稍加大 。（例如n＋2必為奇數） 。用一個容易的直觀的論點，可以得到在〔x,x＋a〕中，孿生質數的對數為C．a/(logx)2，此處C＝1.3203236316… 。
所以在壹億至壹億零壹拾伍萬之間應有(1.32…)．150,000/(18.427)2≈584對孿生質數 。下表列出一些同長區間中質數及孿生質數的預測值及真值 。由下表可以看出，理論和實際有極佳的吻合 。對於孿生質數而言，這種吻合更令人驚訝 。因為孿生質數是否為無窮，這問題直到現在尚無定論，遑論他的分布定律了 。
【 瀏覽原件】
質數的距離
關於質數分布的規律性，最后一個例子就是相鄰兩質數的距離 。若有人去查質數表，會注意到有時距離相當大 。例如113和127之間無其他質數 。令g（x）表x以下，所有相鄰質數的最大距離 。則g（200）＝127-113＝14 。當然，g（x）增加得極不規則 。但是用一個直覺的論點可以得到下列漸近公式，g(x)～(logx)2 。從下圖可以看出，像g（x）這樣極不規則的函數，其行為和預測能符合的程度 。
【 瀏覽原件】
到現在為止，質數的規律性說得較多，不規律性說得很少 。而本文標題「頭五千萬個質數」，我也只提到前幾千個而已 。所以現在先列一表，比較π(x)，樂強何，高斯，黎曼四函數在x小於一千萬范圍內的差異 。因為這四種函數在圖上分辨不出差異，如前面所列π(x)與Li的比較圖，所以現在這圖只表示這三種函數與π(x)的差 。我想從這圖足以看出，一個有志研究數論的人可能遇到的麻煩有多大 。當x很小時（小於一百萬），x/logx-1.08366比Li（x）近似π(x)，但是五百萬以后，Li（x）變得較近似，而且可以證明當x更增加時，Li（x）總是較近似π(x) 。
【 瀏覽原件】
就算我們討論到一千萬，其中也只有60萬多個質數 。要達到應許的五千萬個質數，x必須為十億 。下圖表示十億以內R(x)-π(x)的圖形 。R(x)-π(x)的振動變得愈來愈大，但即使到十億這麼大，振動仍在幾百以內 。
【 瀏覽原件】
順便提另一個π(x)的趣事 。從圖上可以看出，在一千萬以內，Li（x）總是大於π(x)，10億以內仍然如此 。見下圖（此圖以對數尺寸繪出） 。
【 瀏覽原件】
上圖給我們一個印象，當x繼續增加時，Li（x）-π(x)會穩定地無限增加 。但是上述推測錯了！事實上，立特伍（Littlewood）可以證明有某x值，而π(x)會大於Li（x） 。但到目前為止，并未真正找到一個確數，使此事成立，而且恐怕永遠不會找到 。但是立特伍的證明不可能有誤，而且Skewes更證明在【瀏覽原件】以內就有一個這樣的數 。英國名數學家Hardy有一次說，這可能是數學上有確定目的的數字中最大的了 ?？偠灾?，此例說明了，在質數理論里，僅僅依賴數據就想要導出結論的作法是多麼不智??！
〔本文節譯自“The First 50 million Prime Numbers”，原文刊登在The New Mathematical Intelligencer, Vol. 0, Aug. 1977，為原作者Don Zagier就任德國波昂大學教授的就任演說稿 。〕

推薦閱讀