方程（equation）在數學之中有著很高的地位 ， 我們常見的有一次、二次和三次方程等等 ， 并且我們還能通過部分方程的求根公式來進行求解方程的根 。本文主要針對的是一般性的一元 n 次復系數方程 ， 即是滿足下圖的方程：
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那么由高斯定理可知 ， 滿足上式該 n 次系數方程的根就有且僅有 n 個 。注意：根據伽羅瓦群理論 ， 五次及五次以上方程沒有求根公式 ， 即不能以代數數的形式寫出方程的根 ， 但是不是說這種方程沒有解 ， 使用超越函數（如三角函數、對數函數等）還是可以表示該方程的解 。但是有的時候我們求解某些方程過于繁瑣 ， 且存在約束條件的情況下并不需要完全求解方程 ， 而且若是含有超越數（如圓周率 π、自然常數 e 等）的方程 ， 求解過程也會略顯困難 。因此人們想要另辟蹊徑 ， 想要找尋其他高效的方式來求解方程 ， 在此期間涌現出了大量的求解 *** 如：二分法、不動點迭代等 。本文主要介紹另一種優化的不動點迭代法——牛頓迭代法（Newton-Iterative-Method） 。
牛頓迭代法也稱為牛頓-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法 ， 它不僅適用于方程或方程組的求解 ， 還常用于微分方程和積分方程求解 ， 可見它的重要性 。其 *** 基本原理如下：
設 f(x) ∈ C2 [m ， n] ， 對 f(x) 在 x? ∈ [m ， n] 領域內對其進行泰勒展開 ， 得如下結果：
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舍去二次項 ， 得到 f(x) 的線性近似式：
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這也是關于 x? 這一點的切線方程 ， 由此得到方程 f(x) = 0 的近似解：
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即可得出關于 x 的迭代格式：
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在此給出關于牛頓法的幾何意義：牛頓迭代法也稱為牛頓切線法 ， 這是由于 f(x) 的線性化近似函數是曲線 y ＝ f(x) 過點（x? ， f(x?)）的切線而得名的 ， 將該零點代之 f(x) 的近似方程以求的零點 ， 即切線 T 與 X 軸交點的橫坐標 ， 真實的根值為 X* ， 牛頓迭代法實質上是一種線性化 *** ， 其基本思想是將非線性方程逐步歸結為某種線性方程來求解 。
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那么牛頓迭代法是收斂的嗎？或者說是否對于任意的初始值 x? 都能夠保證該迭代的結果收斂到 X* ？下面將通過代數解析的方式來說明其收斂性：
將牛頓迭代式寫成如下形式 ， 即可獲得的不動點迭代形式：
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這樣就可以應用不動點迭代的收斂原則 ， 只須證明在根 β 附近的迭代函數是一個壓縮映象 ， 即可證明其收斂性 。由于
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這里的根 β 是單根 ， 即 f( β ) = 0 且 f ' (β) ≠ 0 ， 于是：
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由于 γ (x) 的連續性可知 ， 存在一個領域（ β - δ ， β + δ ) ， 對該領域內的任意 x ， 都有 | γ' (x) < q | ， 其中 0＜q＜1 ， 因此 γ (x) 為區間（ β - δ ， β + δ ) 上的一個壓縮映像 ， 于是我們可以得到如下結論：
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由此可見 ， 牛頓迭代法的局部收斂性較強 ， 所以只有初值充分地接近 ， 才能確保所迭代序列的收斂性 。為了放寬對局部收斂性的限制 ， 必須再增加能夠使該序列收斂的充分條件 ，
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上式可以化為以下幾種情況：
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其中 ① 保證了零點的存在性；② 保證了函數的單調性 ， 同時也保證了在 區間[ a ， b ] 內有唯一的零點；③ 保證函數的凹凸不會改變 ， ④ 與 ③ 保證了每一次的迭代生成的值都在區間 [a ， b] 之中；反映到圖像上如下：
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