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高中數學66個秒殺技巧模型 陳景潤哥德巴赫猜想( 二 )

數學家素數出了哥德巴赫


——卡爾·弗里德里?！じ咚?br /> 這個問題真正的實質性進展出現在20世紀20年代 。當時有兩種代表性的思想，一種是英國數學家哈代和利特伍德在1923年使用的哈代-利特伍德圓法，另一種是挪威數學家維果·布倫使用的布朗篩法[7，8] 。


圖片:維基百科，圣安德魯斯大學
哈迪(左)、利特伍德(中)和布朗(右) 。英國數學家哈代是20世紀英國分析學派的代表人物 。他的研究對后來的分析和數論的發展產生了深遠的影響 。李，英國數學家，研究領域涵蓋數論和數學分析，與哈代合作35年 。挪威數學家布朗，在數論領域的工作極大地推動了哥德巴赫猜想和孿生素數猜想的研究 。

借助上述方法，哈代和利特伍德在1923年的論文中證明了在假設廣義黎曼猜想的前提下，每一個足夠大的奇數都可以表示為三個素數之和，幾乎每一個足夠大的偶數都可以表示為兩個素數之和[6] 。這里的廣義黎曼猜想是指用狄利克雷L函數代替黎曼猜想中的黎曼函數，其他表達式不變 。哈代和利特伍德的工作使哥德巴赫猜想的證明向前邁進了一大步 。

利用上述方法，Brown在1919年證明了每一個足夠大的偶數都可以寫成兩個數的和，而這兩個數中的每一個都是不超過9個質因數的乘積[7]，因此上述結論也被記錄為9+9 。按照布朗的思路，如果最終能把質因數的個數減少到1，也就是最終證明1+1，那么就意味著證明了哥德巴赫猜想 。
沖刺：鼓舞人心的號角陳景潤的每一份工作，似乎都走在喜馬拉雅山的頂端 。
——安德烈·維爾
上述兩種思想在20世紀得到了極大的發展 。這也極大地促進了哥德巴赫猜想和弱哥德巴赫猜想的證明 。1937年，蘇聯數學家伊萬·維諾格拉多夫在研究弱哥德巴赫猜想方面取得了重大突破[10] 。在圓方法的基礎上，他去掉了哈代和利特伍德證明中對廣義黎曼猜想的依賴，充分證明了足夠大的奇素數可以寫成三個素數之和，即哥德巴赫-維諾格拉多夫定理 。但維諾格拉多夫無法給出足夠大的下限，因此尋找這個下限成為弱哥德巴赫猜想的主要研究方向 。2013年，秘魯數學家哈拉爾·安德烈斯·赫爾夫格特(Harald Andrs Helfgott)成功地將維諾格拉多夫足夠大的下限降低到約10的29次方 。這個極限下的奇數全部被計算機驗證，所有結果無一例外地滿足猜想，從而最終完成了弱哥德巴赫猜想的證明[11] 。

圖片:維基百科
維諾格拉多夫(左)和哈羅德·霍夫戈特(右) 。伊萬·維諾格拉多夫，馬特維耶維奇，蘇聯解析數論專家，是斯基洛夫數學研究所所長 。哈羅德·霍夫戈特，秘魯數學家，法國國家科學院和巴黎師范大學研究員 。
相比較而言，研究強哥德巴赫猜想相對更難 。然而，自20世紀上半葉以來，數學家們遵循布朗篩方法的研究思路取得了很大進展 。布朗證明9+9后不久，1924年，德裔美國數學家拉德馬赫成功證明了7+7 [12]，1932年，德國數學家埃斯特曼證明了6+6 [13]，1938年，蘇聯數學家亞歷山大 。布希斯塔和德國數學家亞歷山大 。
拉德馬赫圖片來源:數學基因項目
埃斯特曼圖片來源:牛津大學出版社
與以往的數論方法相比，布朗篩方法具有很強的組合數學特性，應用更加復雜 。因此，在研究過程中，數學家們不斷改進原有的篩選方法 。考慮到在以往的證明中，命題a+b總是與一個篩選函數的估計直接相關，得到的結果相對較弱 。1941年，p .庫恩提出了加權篩選法，通過這種方法，我們可以基于篩選函數的相同上下限得到強有力的結果 。比如庫恩在1954年給出了a+b ^ 7[8]，即每一個偶數都可以寫成兩個數的和，這樣它們的質因數之和就小于7 。挪威數學家阿特勒·塞爾伯格在1950年前后提出的塞爾伯格篩方法[15]使哥德巴赫猜想的研究向前邁進了一大步 。塞爾伯格通過尋找二次極值極大地改進了篩選方法，從二次極值可以估計篩選函數的上界，結合Buch希塔恒等式可以估計篩選函數的下界 。在此基礎上，維諾格拉多夫、王元等數學家相繼完成了3+3、a+b (a+b 6)和2+3的證明[10] 。
塞爾伯格圖片來源:維基百科
布赫希塔布圖片來源:liveinternet.ru
挪威數學家阿特勒·塞爾伯格 。他的研究興趣包括解析數論和自律形式理論 。他獲得了1950年的菲爾茲獎和1986年的沃爾夫數學獎 。蘇聯數論專家亞歷山大·布克·希塔以對篩法的研究而聞名 。
在上面的結果中，很遺憾不能證明一個偶數被除的兩個數中有一個一定是素數 。主要原因是當我們需要估計篩函數S(A，P，z)的上界和下界來證明一個形如1+x的命題時，需要估計主項和余項，并證明余項相對于主項可以忽略 。這有點類似于圓法的思想 。但是，1+x的估計涉及算術級數中素數分布的中值定理，需要用到復解析數論 。

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