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有哪些計算圓周率的神奇公式？ 圓周率公式

公式神奇圓周率


圓周率公式（有哪些計算圓周率的神奇公式？）
說起圓周率π ， 很多人就想到祖沖之老爺子的割圓術 。
說實話 ， 祖大人也挺無奈的 ， 從我們小學就開始割圓 ， 一直割到大學還在割 。
但割圓術只適合手算 ， 如何用電腦算π呢？
泰勒展開泰勒展開在科學計算中簡直有著匪夷所思的變態威力 。
之前我有一篇文章泰勒為何要展開？ 泰勒公式有什么神奇作用？介紹了什么是泰勒展開 ， 它可以把復雜函數轉換成加減乘除 ， 比如sinx：

之所以要展開 ， 是因為通用計算機本質上只能計算加減乘除 。
用泰勒展開計算π首先想到的思路就是 ， 反三角函數 ， 根據定義有：

那么 ， 接下來的問題就是 ， 
如何計算arctan(1)
有人說 ， 直接調用C語言庫函數atan(double,double)不就行了 。
確實 ， 這可以完成計算 ， 然而 ， 這是一種令人不齒的開掛行為 ， 就好像我問怎么跑完馬拉松 ， 你說你開車一溜煙就跑完了一樣 。
庫函數是別人寫好的 ， 我們現在是思索如何實現計算 ， 而不是考慮如何調用 。
至此 ， 我們只好請出祖傳配方 ， 把arctan(x)進行泰勒展開：

然后 ， 令x = 1 ， 得到：
格雷戈里-萊布尼茨公式
它被稱為萊布尼茨級數 ， 也被稱為格雷戈里-萊布尼茨級數 ， 用以紀念萊布尼茨同時代的天文學家兼數學家詹姆斯·格雷戈里 。
看起來很吊是不是······
但是啊但是 ， 還不夠吊 ， 因為問題還沒完：
這個級數收斂極慢 。
比如 ， 算到+4/9 ， 也就是前五項 ， 結果僅為3.3396 ， 誤差有0.2之多 。
它要到算500000項之后 ， 才會精確到小數點后五位：
就算電腦也算得太累了 。
何況萊布尼茲（1646年7月1日－1716年11月14日）當年是沒有電腦的！
加快收斂于是 ， 人們嘗試改進 ， 希望能快點計算 。
英國數學家梅欽在1706年用上面的級數 ， 發掘了一個可以快速收斂的公式：

配合上面arctan(x)泰勒展開 ， 梅欽依據此公式（沒有電腦） ， 把圓周率計算到小數點后一百多位 。
英國數學家威廉·謝克斯花15年的時間以此計算到小數點后707位 ， 不過在第528位時出錯 ， 因此后面的都不正確了 。
微微杯具就是了 。
神奇公式現代有了電腦 ， 我們希望更快的收斂速度 ， 因此科學家在尋找新的級數 。
歷史總是留給吊人的 ， 也總是會生產一些吊人的 。
比如：
拉馬努金公式
這玩意被稱為拉馬努金公式 ， 是印度科學家拉馬努金發明的 。
第一位用拉馬努金公式計算π并取得進展的是比爾·高斯珀 ， 他在1985年計算了小數點后一千七百萬位 。
收斂再快一點？還有楚德諾夫斯基公式：
楚德諾夫斯基公式
楚德諾夫斯基兄弟于1989年算得π小數點后10億（10?）位 ， 法布里斯·貝拉于2009年算得2.7千億（2.7×1012）位 ， 亞歷山大·易和近藤滋在2011年算得一萬億（1013）位 。
【有哪些計算圓周率的神奇公式？ 圓周率公式】

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