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讀含數學知識的書的小論文( 三 )

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精彩回答檢舉| 2011-05-27 22:24數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科 。
透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生 。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理 。
數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的推理及對完美境界的追求 。它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個性 。
雖然不同的傳統學派可以強調不同的側面，然而正是這些互相對立的力量的相互作用，以及它們綜合起來的努力，才構成了數學科學的生命力、可用性和它的崇高價值 。數學史 基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的一部分 。

其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見 。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅度的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速，直至今日 。
今日，數學被使用在世界不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等 。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，并導致全新學科的發展 。
數學家也研究純數學，也就是數學本身，而不以任何實際應用為目標 。雖然許多以純數學開始的研究，但之后會發現許多應用 。
創立于二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：數學，至少純數學，是研究抽象結構的理論 。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統 。
布學派認為，有三種基本的抽象結構：代數結構（群，環，域……），序結構（偏序，全序……），拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數……） 。數學分類 符號、語言與嚴謹 在現代的符號中，簡單的表示式可能描繪出復雜的概念 。
此一圖像即是由一簡單方程所產生的 。我們現今所使用的大部分數學符號都是到了16世紀后才被發明出來的 。
在此之前，數學被文字書寫出來，這是個會限制住數學發展的刻苦程序 ?，F今的符號使得數學對于專家而言更容易去控作，但初學者卻常對此感到怯步 。
它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息 。如同音樂符號一般，現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼 。
數學語言亦對初學者而言感到困難 。如何使這些字有著比日常用語更精確的意思 。
亦困惱著初學者，如開放和域等字在數學里有著特別的意思 。數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞 。
但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的：數學需要比日常用語更多的精確性 。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴謹” 。
嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部分 。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去 。
這是為了避免錯誤的“定理”，依著不可靠的直觀，而這情形在歷史上曾出現過許多的例子 。在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細的論點，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴謹 。
牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理 。今日，數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度 。
當大量的計量難以被驗證時，其證明亦很難說是有效地嚴謹 。中國古代數學的發展 魏、晉時期出現的玄學，不為漢儒經學束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數學從理論上加以提高 。
吳國趙爽注《周髀算經》，漢末魏初徐岳撰《九章算術》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術》注、《九章重差圖》都是出現在這個時期 。趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎 。
趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明與推導的最早的數學家之一 。他在《周髀算經》書中補充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數學文獻 。
在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創性的，在中國古代數學發展中占有重要地位 。劉徽約與趙爽同時，他繼承和發展了戰國時期名家和墨家的思想，主張對一些數學名詞特別是重要的數學概念給以嚴格的定義，認為對數學知識必須進行“析理”，才能使數學著作簡明嚴密，利于讀者 。

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