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證明線面垂直有幾種方法？

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證明線面垂直有幾種方法？

文章插圖
5種 。
1、線面垂直的判定定理：直線與平面內的兩相交直線垂直 。
2、面面垂直的性質：若兩平面垂直則在一面內垂直于交線的直線必垂直于另一平面 。
3、線面垂直的性質：兩平行線中有一條與平面垂直 ， 則另一條也與平面垂直 。
4、面面平行的性質：一線垂直于二平行平面之一 ， 則必垂直于另一平面 。
5、定義法：直線與平面內任一直線垂直 。
如果一條直線與一個平面內的任意一條直線都垂直 ， 就說這條直線與此平面互相垂直 。是將“三維”問題轉化為“二維”解決是一種重要的立體幾何數學思想方法 。
擴展資料：
空間內如果兩條直線都與第三條直線平行 ， 那么這兩條直線平行 。（該推論意味著平行線的傳遞性不僅在平面幾何上 ， 在空間幾何上也成立 。）
過空間內一點（無論是否在已知平面上） ， 有且只有一條直線與平面垂直 。下面就討論如何作出這條唯一的直線 。
任選兩個面中的一個 ， 在其中做一條直線垂直于兩面相交的直線 。因為是同一個面內 ， 所以一定能做出來 。然后 ， 因為線線垂直 ， 相交線也在另一個面內 ， 做的線在另一面外 ， 所以線面垂直 。
直線與平面垂直的判定定理(線面垂直定理):一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直 ， 則該直線與此平面垂直 。
已知m∥n ， m⊥α ， 求證n⊥α 。證明：設m∩α=M ， n∩α=N 。再在m、n上分別另取P、Q 。
∵m∥n
∴設m與n確定平面β ， 且α∩β=MN
過N在α內作AB⊥MN ， 連接PN 。
∵PM⊥α ， AB?α
∴PM⊥AB
∵PM?β ， MN?β
∴AB⊥β
∵QN?β
∴QN⊥AB~~~①
又∵PM⊥α ， MN?α
∴PM⊥MN
∵PM∥QN
∴QN⊥MN~~~②
∵MN∩AB=N ， MN?α ， AB?α
∴QN⊥α
參考資料來源：百度百科——線面垂直
線面垂直的性質定理：
性質定理1：如果一條直線垂直于一個平面 ， 那么該直線垂直于平面內的所有直線 。
性質定理2：經過空間內一點 ， 有且只有一條直線垂直已知平面 。
性質定理3：如果在兩條平行直線中 ， 有一條直線垂直于一個平面 ， 那么另一條直線也垂直于這個平面 。
性質定理4：垂直于同一平面的兩條直線平行 。
推論：空間內如果兩條直線都與第三條直線平行 ， 那么這兩條直線平行 。
當一條直線垂直于一個平面時 ， 則這條直線垂直于平面上的任何一條直線 ， 簡稱線面垂直則線線垂直 。由三垂線定理平面上的一條線和過平面上的一條斜線的影垂直 ， 則這條直線與斜線垂直 。
任選兩個面中的一個 ， 在其中做一條直線垂直于兩面相交的直線 。因為是同一個面內 ， 所以一定能做出來 。因為線線垂直 ， 相交線也在另一個面內 ， 做的線在另一面外 ， 所以線面垂直 。
如果在兩條平行直線中 ， 有一條直線垂直于一個平面 ， 那么另一條直線也垂直于這個平面 。
如果兩條直線垂直于同一個平面 ， 那么這兩條直線平行 。
線面垂直：一條直線與平面內兩條相交直線垂直 。
面面垂直：一條直線垂直于一個平面 ， 則過該直線的平面垂直于那個平面 。
反證法
設有一直線l與面S上兩條相交直線AB、CD都垂直 ， 則l⊥面S
假設l不垂直于面S ， 則要么l∥S ， 要么斜交于S且夾角不等于90 。
當l∥S時 ， 則l不可能與AB和CD都垂直 。這是因為當l⊥AB時 ， 過l任意作一個平面R與S交于m ， 則由線面平行的性質可知m∥l
∴m⊥AB
又∵l⊥CD
∴m⊥CD
∴AB∥CD ， 與已知條件矛盾 。
當l斜交S時 ， 過交點在S內作一直線n⊥l ， 則n和l構成一個新的平面T ， 且T和S斜交（若T⊥S ， 則n是兩平面交線 。由面面垂直的性質可知l⊥S ， 與l斜交S矛盾） 。
∵l⊥AB
∴AB∥n
∵l⊥CD
∴CD∥n
∴AB∥CD ， 與已知條件矛盾 。
綜上 ， l⊥S

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