1. 首頁 > 生活百科 > >

二項式定理展開式公式

定理生活百科


二項式定理展開式公式

文章插圖
二項式展開公式：(a+b)^n=a^n+C(n，1)a^(n-1)b+C(n，2)a^(n-2)b^2+...+C(n，n-1)ab^(n-1)+b^n 。
二項展開式是依據二項式定理對（a+b)n進行展開得到的式子，由艾薩克·牛頓于1664-1665年間提出，二項展開式是高考的一個重要考點 。在二項式展開式中，二項式系數是一些特殊的組合數 。二項式系數最大的項是中間項，而系數最大的項卻不一定是中間項 。
二項展開式的要點
1、項數：總共二項式展開有n+1項，通常通項公式寫的是r+1項 。
2、通項公式的第r+1項的二次項系數是Cnk，二次項系數不是項的系數 。
3、如果二項式的冪指數是偶數，中間的一項二次擾燃項系數最大 。如果是奇數，則最中間2項最大并且相緩此虛等 。扒者
4、指數：a按降冪排列，b按升冪排列，每一項中a、b的指數和為n 。
如下圖所示 。
二項式定理（英語：binomial theorem），又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓于1664年、1665年間提出 。該定理給出兩個數之和的整數次冪諸如展開為類似項之和的恒等式 。二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理 。
在阿拉伯，10世紀，阿爾
·卡拉吉已經知道二項式系數表的構造方法：每一列中的任一數等于上一列中同一行的數加上該數上面一數 。11~12世紀奧馬海牙姆將印度人的開平方、開立方運算推廣到任意高次，因而研究了高次二項展開式 。
13世紀納綏爾丁在其《算板與沙盤算法集成》中給出了高次開方的近似公式，并用到了二項式系數表 。15世紀，阿爾
·卡西在其《算術之鑰》中介紹了任意高次開方法，并給出了直到九次冪的二項式系數表，還給出了二項式系數表的兩術書中給出了一張二項式系數表，其形狀與賈憲三角一樣 。
16世紀，許多數學家的書中都載有二項式系數表 。1654年，法國的帕斯卡最早建立了一般正整數次冪的二項式定理，因此算術三角形在西方至今仍以他的名字命名 。1665年，英國的牛頓將二項式定理推廣到有理指數的情形 。
18世紀，瑞士的歐拉和意大利的卡斯蒂隆分別采用待定系數法和“先異后同”的方法證明了實指數情形的二項式定理 。
根據此定理，可以將x+y的任意次冪展開成和的形式
其中每個
為一個稱作二項式系數的特定正整數，其等于
。這個公式也稱二項式公式或二項恒等式 。使用求和符號，可以把它寫作
擴展資料
用數學歸納法證明二項式定理：
證明：當n=1時，左邊＝（a+b)1＝a+b
右邊＝C01a+C11b=a+b左邊＝右邊
【二項式定理展開式公式】假設當n＝k時，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立；
則當n=k+1時, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)
=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a＋[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*b
＝[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]
＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]
＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)
∴當n=k+1時，等式也成立；
所以對于任意正整數，等式都成立 。
參考資料：百度百科-二項式定理

    推薦閱讀