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什么叫親和數？

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什么叫親和數？

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古希臘數學家畢達哥拉斯在自然數研究中發現，220的所有真約數(即不是自身的約數)之和為：
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110＝284 。
而284的所有真約數為1、2、4、71、142，加起來恰好為220 。人們對這樣的數感到很驚奇，并稱之為親和數 。一般地講，如果兩個數中任何一個數都是另一個數的真約數之和，則這兩個數就是親和數 。
220和284是人類最早發現，又是最小的一對親和數 。第二對親和數(17296，18416)直到2000多年后的1636年才由法國數學家費馬發現 。1638年，法國數學家笛卡兒發現了第三對親和數，而大數學家歐拉在1747年一下子給出了30對親和數，1750年又增加到60對 。到目前為止，人類已經發現了近千對親和數 。然而，令人驚奇的是，第二對最小的親和數(1184，1210)竟然被數學家們遺漏了，直到1886年才由意大利的一位16歲男孩發現 。
親和數還可以推廣為若干個數組成的親和數鏈，鏈中的每一個數的真約數之和恰好等于下一個數 。如此連續，最后一個數的真約數之和等于第一個數 。目前發現的最大的親和數鏈由28個數構成，這個鏈的第一個數是14316 。
320年左右，古希臘畢達哥拉斯發現的220與284，是人類認識的第一對相親數 。[3]
約850年，阿拉伯數學家塔別脫·本·科拉就發現了相親數公式，后來稱為塔別脫·本·科拉法則 。
1636年，費馬發現了另一對相親數：17296和18416 。
1638年，笛卡兒也發現了一對相親數：9363584和9437056 。
歐拉也研究過相親數這個課題 。1750年，他一口氣向公眾拋出了60對相親數：2620和2924，5020和5564，6232和6368，……，從而引起了轟動 。
1866年，年方16歲的意大利青年巴格尼尼發現1184與1210是僅僅比220與284稍為大一些的第二對相親數 。
目前，人們已找到了12,000,000多對相親數 。但相親數是否有無窮多對，相親數的兩個數是否都是或同是奇數，或同是偶數，而沒有一奇一偶等，這些問題還有待繼續探索 。
首先發現220與284就是一對親和數，在以后的1500年間，世界上有很多數學家致力于探尋親和數，面對茫茫數海，無疑是大海撈針，雖經一代又一代人的窮思苦想，有些人甚至為此耗盡畢生心血，卻始終沒有收獲 。公元九世紀，伊拉克哲學、醫學、天文學和物理學家泰比特·依本庫拉曾提出過一個求親和數的法則，因為他的公式比較繁雜，難以實際操作，再加上難以辨別真假，故它并沒有給人們帶來驚喜，或者走出困境 。數學家們仍然沒有找到第二對親和數 。直到費爾馬(P．de Fermat，1601-1665)才發現了另一對親和數：17296和18416 。
十六世紀，已經有人認為自然數里就僅有這一對親和數 。有一些無聊之士，甚至給親和數抹上迷信色彩或者增添神秘感，編出了許許多多神話故事 。還宣傳這對親和數在魔術、法術、占星術和占卦上都有重要作用等等 。
歐拉采用了新的方法，將親和數劃分為五種類型加以討論 。歐拉超人的數學思維，解開了令人止步2500多年的難題，使數學家拍案叫絕 。
時間又過了120年，到了1867年，意大利有一個愛動腦筋，勤于計算的16歲中學生帕格尼尼（巴格尼尼），竟然發現數學大師歐拉的疏漏——讓眼皮下的一對較小的親和數1184和1210溜掉了 。這戲劇性的發現使數學家如癡如醉 。
在找到的這些親和數中，人們發現，親和數發現的個數越來越少，數位越來越大 。同時，數學家還發現，若一對親和數的數值越大，則這兩個數之比越接近于1，這是親和數所具有的規律嗎？人們企盼著最終的結論 。
電子計算機誕生以后，結束了筆算尋找親和數的歷史 。有人在計算機上對所有100萬以下的數逐一進行了檢驗，總共找到了42對親和數，發現10萬以下數中僅有13對親和數 。
人們還發現每一對奇親和數中都有3，5，7作為素因數 。1968年波爾.布拉得利(P.Bratley)和約翰.邁凱(J.Mckay)提出：所有奇親和數都是能夠被3整除的 。1988年巴蒂亞托(S.Battiato)和博霍(W.Borho)利用電子計算機找到了不能被3整除的奇親和數，從而推翻了布拉得利的猜想 。他找到了15對都不能被3整除的奇親和數，最小的一對是：a=s*140453*85857199和　b=s*56099*214955207其中s=5^4*7^3*11^3*13^2*17^2*19*61^2*97*107.將各個因數乘起來　a=353804384422460183965044607821130625和b=353808169683169683168273495496273894069375 。
早在9世紀，阿拉伯的學者泰比特(TabitibnQorra)就提出了一個構造親和數的公式：
設 a=3*2^(x-1)-1, b=3*2^x-1,c=9*2^(2x-1)-1，這里x是大于1的自然數，如果a、b、c全是素數的話 。那么2*x*ab與2*x*c 。便是一對相親和數 。

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