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什么是奇函數和偶函數?

生活百科偶函數


什么是奇函數和偶函數?

文章插圖
奇函數是指對于一個定義域關于原點對稱的函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）= - f（x），那么函數f（x）就叫做奇函數（odd function） 。
一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意的一個x，都有f(x)=f(-x),那么函數f(x)就叫做偶函數(Even Function) 。
性質
1. 兩個奇函數相加所得的和或相減所得的差為奇函數 。
2. 一個偶函數與一個奇函數相加所得的和或相減所得的差為非奇非偶函數 。
3. 兩個奇函數相乘所得的積或相除所得的商為偶函數 。
4. 一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積或相除所得的商為奇函數 。
運算法則
(1) 兩個偶函數相加所得的和為偶函數 。
(2) 兩個奇函數相加所得的和為奇函數 。
(3) 一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數 。
(4) 兩個偶函數相乘所得的積為偶函數 。
(5) 兩個奇函數相乘所得的積為偶函數 。
(6) 一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數 。
奇函數：如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)= - f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數 。
偶函數：如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數 。
特別地：
1.如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R關于原點對稱.）那么函數f(x）既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數 。
2.如果對于函數定義域內的存在一個a，使得f(a）≠f(-a），存在一個b，使得f(-b）≠-f(b），那么函數f(x）既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數 。
函數奇偶性的證明方法一般有：
⑴定義法：函數定義域是否關于原點對稱，對應法則是否相同 。
⑵圖像法：f(x）為奇函數<=>f(x）的圖像關于原點對稱 點（x,y）→（-x,-y） f(x）為偶函數<=>f(x）的圖像關于Y軸對稱 點（x,y）→（-x,y）
⑶特值法：根據函數奇偶性定義，在定義域內取特殊值自變量，計算后根據因變量的關系判斷函數奇偶性 。
⑷性質法：利用一些已知函數的奇偶性及以下準則（前提條件為兩個函數的定義域交集不為空集）：兩個奇函數的代數和（差）是奇函數；兩個偶函數的和（差）是偶函數；奇函數與偶函數的和（差）既非奇函數也非偶函數；兩個奇函數的積（商）為偶函數；兩個偶函數的積（商）為偶函數；奇函數與偶函數的積（商）是奇函數 。
如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)= - f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數 。一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意的一個x，都有f(x)=f(-x)，那么函數f(x)就叫做偶函數 。
偶函數的定義域必須關于y軸對稱，否則不能成為偶函數 。
奇函數的圖象關于原點中心對稱 。
偶函數的圖象關于Y軸對稱 。
奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱 。
奇函數的偶次項系數等于0，偶函數的奇次項系數等于0 。
Y=0即是X軸，既是奇函數也是偶函數 。
奇函數性質
1. 兩個奇函數相加所得的和或相減所得的差為奇函數。
2. 一個偶函數與一個奇函數相加所得的和或相減所得的差為非奇非偶函數 。
3. 兩個奇函數相乘所得的積或相除所得的商為偶函數 。
4. 一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積或相除所得的商為奇函數 。
【什么是奇函數和偶函數?】5. 當且僅當（定義域關于原點對稱）時，既是奇函數又是偶函數 。奇函數在對稱區間上的積分為零 。

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