【下確界 如何用確界定理證明有限覆蓋定理？】有上界必有上確界，有下界必有下確界下確界；如果H是閉區間【a,b】的一個開覆蓋，則H中可以選出有限個開區間來覆蓋【a,b】 。
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由于【a,b】是閉區間，因此是有界區間，所以由確界原理，【a,b】有上下確界 。既然H是【a,b】的一個開覆蓋，那么起碼可挑選出兩個小開區間h1和h2，使得a屬于h1,b屬于h2，由于【a,b】區間長度有限，設為l，而所有開區間也必然長度有限，不妨設最小的一個開區間長度為d，于是在h1和h2之間，可以挑選出【l/d】+1個開區間，使得【a,b】內任意一個點都可以在這些小開區間內找到，這就說明了有限覆蓋原理 。(簡單點理解就是，既然有界，必然長度有限，而即便一個開覆蓋中所有的小開區間長度再小，也終究還是有長度的，因此在數量足夠多情況下，必然可以完全覆蓋住那個閉區間)
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