解答：由在上是減函數得
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，
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，
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0，1 。
又因為是偶函數，∴只有當
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時符合題意，故
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。
于是
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，
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。
當
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且
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時，為非奇非偶函數；
當
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且時，為奇函數；
當且
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時，為偶函數；
當且時，為既奇又偶函數 。
例6、已知冪函數
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在
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上是增函數，且在定義域上是偶函數 。
（1）求的值，并寫出相應的函數的解析式；
（2）對于（1）中求得的函數，設函數
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。問是否存在實數
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，使得函數在區間上是減函數，且在區間上是增函數？若存在，請求出
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的值；若不存在，請說明理由 。
分析：之一問先根據單調性求出的取值范圍，再由奇偶性進一步確定的取值 。第二問可根據復合函數單調性的規律來解 。
解答：（1）∵冪函數
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在上是增函數，∴
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∴
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又
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，∴
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∵在定義域上是偶函數，∴只有當
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時符合題意，故 。
（2）由，則
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。
假設存在實數，使得滿足題設條件 。令
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，則
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。
∵在上是減函數，∴當
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時，
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；當
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時，
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。
若在區間上是減函數，且在區間上是增函數，則
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在
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上是減函數，且在
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上是增函數，此時二次函數的對稱軸方程是
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即
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，
∴
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。
故存在實數，使得函數在區間上是減函數，且在區間上是增函數 。
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