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新羅馬字體大全 古羅馬數字( 二 )

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復數的發現是偶然的 。學過初等數學的都知道負數沒有平方根，因為任何實數的平方都是正的 。但在16世紀，意大利米蘭學者卡當在解三次方程時，首次使用了負數的平方根 。笛卡爾將這個看似不存在的平方根稱為“虛數” 。后來，科學家們不斷質疑和爭論“虛數”的真實性，直到高斯發現二維平面上的點的坐標可以用實數和虛數一起表示，這些爭論才塵埃落定，平面上的點的坐標所代表的數就是復數 。至此，人們終于認識到復數原來對應的是一個二維的數集，數系第一次與維數聯系起來 。實數對應一維直線上的點，復數對應二維平面上的點 。雖然已經證明了直線上的點和平面上的點可以建立一一對應的關系，但是不能認為直線和平面是等價的，這里的關鍵在于量綱 ?！爸本€上的點”和“平面上的點”的本質區別是“點與點之間的關系”的區別 。這些點之間的關系決定了直線不能代替平面 。直線上的點排列有序，大數總是在小數前面，而平面上的點比直線上的點有更復雜的相關性 。我們不能比較兩個復數的大小，只能比較兩個復數的范數的大小(范數是代表復數的點到原點的距離的平方)，范數相同的復數正好形成一個以原點為圓心的圓，所有的復數都滿足兩個復數的范數的乘積等于兩個復數的乘積的范數 。也就是說，只有一條直線和一個平面上的點數是相同的，但在更高的層次上，它有著更復雜的性質，即數的規律背后有著更深層次的規律性，這就是量綱的性質 。
復數的發現只是人類對更高維度認識的開始 。發現1元數A對應實數，在幾何上可以描述為直線 。如果實數加減，相當于直線左右移動；如果對一個實數進行乘除，相當于拉伸或翻轉一條直線(乘以一個負數就是翻轉) 。2元數(a+bi)對應的是復數 。在幾何學中，它可以描述為平面上一點的坐標 。再加一個復數a+bi，就相當于把點橫向移動a，然后縱向移動b，乘以一個復數，不僅會移動平面，還會旋轉平面 。乘以I相當于把飛機逆時針旋轉90度，乘以I再乘以I相當于把飛機轉半圈 。除法是乘法的反義詞 。除以復數就是把放大變成縮小，或者反過來，然后反方向旋轉 。大部分可以在實數上進行的運算也可以在復數上進行，而且用復數來解一些方程更方便 。
數學家們很快意識到，如果二維數系可以為我們提供更大的計算能力，為什么不考慮將其擴展到更高維的數系呢？然而，這個看似簡單的任務卻異常艱難 。19世紀愛爾蘭著名數學家漢密爾頓在研究復數向三進制數a+bi+cj展開時，遇到了難以克服的困難 。因為三進制數的乘法不能滿足“模法則”，而且ij和ji的關系和數值也不能明確定義 。三個數的平方和定理導致三進制數的定義出現問題，然后ij的值給三進制數帶來了很多無法解決的問題 ?？赡芤婚_始三進制數的想法是錯誤的，也可能需要實數和虛數之外的另一個數來表示ij ?？傊?，三進制數就像一個殘次品，沒有任何有意義的性質 。然而，已經擴展到四維的四元數a+bi+cj+dk才浮出水面 。根據漢密爾頓的記述，當時他和妻子正在都柏林的皇家運河上散步，突然想到了方程i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 1的解法，漢密爾頓隨即將這個方程刻在了附近的布魯姆橋上，一度成為數學界的有趣話題 。如果四元數的集合被認為是一個多維實數空區間，那么四元數就代表一個四維空區間 。滿足四元數乘法的組合率但不滿足交換率，即ab不等于ba，四元數的“加減乘除”運算可以表示三維中物體的運動空，其中bi、cj、dk用于描述三維中的旋轉和縮放，A用于描述整個三維中的伸縮程度空，也就是說描述三維空
數系向更高維度的擴張并沒有停止 。1845年，阿瑟·凱利發表了八進制數的發現 。八進制數(a+bi+cj+dk+el+fm+gn+ho)是四元數的非結合推廣，不滿足乘法的結合率，即a(bc)不等于(AB) C，后來發現這一系列新的數系滿足一個簡單的規律，即每個代數系的維數是前一個的兩倍 。這樣的代數系統構成一個序列，這個序列稱為Gloria-Dixon結構，這個過程生成的所有代數系統，即所謂的Gloria-Dixon代數系統 。實數、復數、四元數、八進制數都是Gloria Dixon構造的代數系統序列之一 。這四種數都滿足兩個恒等式:第一，兩個數的范數的乘積等于兩個數的乘積的范數；第二，這四種數可以做“加減乘除”四則運算，我們稱之為“賦范整除代數” 。雖然定義允許“賦范可除代數”是無限維的，但實際上不是 。實數域上唯一的賦范可除代數有:實數，復數，四元數，八進制數 。即n個平方和與n個平方和的乘積可以寫成n個平方和，只有當n為1、2、4或8時才有效 。數學表達式為:(A1 ^ 2+A2 ^ 2+…+An ^ 2)(B1 ^ 2+B2 ^ 2+…+BN ^ 2)= C1 ^ 2+C2 ^ 2…+CN ^ 2(當且僅當n=1，2，4，8)一個有趣的現象與實數相比，復數缺少“共軛就是自身”的代數性質；四元數比復數缺少“乘法交換律”；但八進制數的四元數缺少“乘法結合律”；至于十六進制數，與八進制數相比，保留了一種叫做冪組合的代數性質，但失去了“代數的交錯性”，因此不再是復合代數 。

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