微積分基本定理(通俗演義中微積分基本定理和公式的推導)如何求曲線X和直線x=0 ， x=10和X軸圍成的面積？
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1.近似暴力法:先除再和 。即把不規則圖形分成N個小的規則圖形(梯形或矩形) ， 計算出N個小的規則圖形的面積 ， 加起來近似整體面積 。
如果是這樣一個領域 ， 測量員要測量會怎么做？通常用三角形來近似 。測量一個底為10 ， 高約70的三角形 ， 面積約為350 。
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如果將區間[0 ， 10]劃分為10個單元 ， 每個單元的長度dx為1 ， 在每個單元[ti ， tj]取點I(等于ti+0.5)和各dy=(ti+0.5) ， 則整個區域劃分為10個矩形:
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單元間求和的形式是:
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=0.5+1.5+2.5+3.5+4.5+5.5+6.5+7.5+8.5+9.5=332.5
2極限或無限方法引用極限或無窮大的概念 ， 如果上面的dx→0(n→∞) ， 我取每個單元格之間的右端點:
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有
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當n→∞ ， 上述= 1000/3
3定積分法也可以用定積分的形式表示:
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Dx代表自變量在區間[0 ， 10]內的微分 ， xdx代表整個區域的微分 ， 符號∫是英文“sum”的首字母“S”的拉長 ， 代表區域微分的累加 。
我們來討論一般情況下定積分的近似計算 。
如果函數f(x)在區間[a ， b]內是連續的 ， 那么存在以下定積分 。
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我們把區間[a ， b]分成n個等長的單元 。
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每個單元格的長度是dx=(b-a)/n ， 如果在每個單元格之間選擇I ， 則有
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(上限無限分割或定積分的方法可能找不到極限值 。)
4定積分變上限積分的面積函數以上定積分計算出來的是具體值(注意“定”字) ， 不是一般的函數表達式 。我們需要研究一般規律的函數關系表達式(沒有符號∫ ， 這樣我們就可以通過代入直接找到它 ， 而不是每次都限制) 。能不能找到一個關于X的面積函數 ， 即任意值的曲線X和直線X與X軸圍成的面積函數？如果你給出X的值 ， 你就可以得到面積 。
這種面積函數的積分表達式可以表示為:
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函數F(x)如何啟動一個商業網絡用一個沒有∫符號的表達式來表示？可以認為F(x)肯定與曲線函數x有關 。
我們可以考慮X曲線外y=f(t)的一般情況 ， 面積函數為a(風險網絡X) ， 如下圖所示:
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關鍵是找出F(x)或A(x)的一般表達式 ， 它是積分表達式的代換 。從積分表達式可以看出 ， 它與面積微分f(t)dx或f(x)dx有關 。是什么關系？
5從面積函數的變量上限積分到面積函數的一般表達式當積分上限為x時 ， 在此基礎上 ， 自變量x與面積函數微分 ， 自變量x增加一個最小值h(dt):
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上圖中淺紅色陰影部分在H很小時幾乎是一個小豎條 ， 所以豎條的面積可以通過計算矩形面積來估算 ， 它的底邊是從X到x+h ， 高度是從0到f(x) ， 所以面積是h*f(t) ， 即:
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表達式hf(x)是面積函數f(x)的微分 ， 函數的微分/自變量的微分稱為微信商 ， 也稱導函數或導數 ， 用f' (x)表示 。導數的形式在一定情況下比微分的形式更簡潔 ， 微分也可以通過導數迂回的方式得到 。上述公式可推導如下:
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