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這樣 ， 曲線函數f(x)的逆導數就是面積函數F(x) ， 這是微積分的基本定理 。
黑色部分的面積可以表示為:F(x)-F(a) ， 這是微積分的基本公式 。
函數的導數是函數的因變量相對于自變量的變化速度 ， 即“變化率” 。它可以用來求函數的最大創業網絡 ， 曲線在某一點的切線斜率 ， 變速運動的瞬時速度 。
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導數引入了無窮小和極限的概念 ， 但可以從近似表達式中去掉無窮小和極限的符號 ， 使表達式更簡潔 ， 如:
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類似的
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【通俗演義微積分基本定理和公式的推導 微積分基本定理】回到下面的公式:
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x的逆導數是1/3x ， 所以上面要計算的面積是:f (10)-f (0) = 1000/3 。
當然 ， 如果要求曲線X和直線x=5圍成的面積 ， x=10和X軸:F(10)-F(5)= 1000/3-125/3 = 875/3 = 291.6 。
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6.從變速直線運動中的距離函數和速度函數看導數和積分的關系 。讓物體沿直線以可變速度運動 。在時間t ， 距離函數是s(t) ， 速度函數是v(t) 。然后 ， 在時間段[T1 ， T2]內 ， 根據定積分的定義 ， 物體經過的距離為
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另一方面 ， s也可以用距離函數s (T)的增量s = s (T2)-s(t1)來表示 ， 這樣就有了關系式 。
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因為s' (t) = v(t) ， 即距離函數是速度函數v(t)的逆導數 ， 所以定積分由無窮求和變為差分 。
例如v(t)=t(8-t)
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從(t (8-t))' = 8-2t = 0發現 ， 當t=4m時 ， 物體的最大速度為16m/s ， V∏[0 ， 16] ， 時間[0 ， 8] ， 距離s應小于16*8=128m 。
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S(t)=F(t)=∫(t(8-t)dt=4t-1/3t
上式中符號∫表示不定積分 ， 表達式∫(t(8-t)dt表示函數t(8-t)的逆導數或不定積分 。
s = 4t-1/3t = 4 * 8-1/3 * 8 = 85.33米
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