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一年級數學小知識大全 數學小知識大全高中( 四 )

生活百科方程


這樣，（1）雞和兔的腳的總數就由94只變成了47只；（2）如果籠子里有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數多1 。因此，腳的總只數47與總頭數35的差，就是兔子的只數，即47-35=12（只） 。
顯然，雞的只數就是35-12=23（只）了 。這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數學家贊嘆不已 。
這種思維方法叫化歸法 ?；瘹w法就是在解決問題時，先不對問題采取直接的分析，而是將題中的條件或問題進行變形，使之轉化，直到最終把它歸成某個已經解決的問題 。
趣味數學小知識
數論部分：
1、沒有最大的質數 。歐幾里得給出了優美而簡單的證明 。
2、哥德巴赫猜想：任何一個偶數都能表示成兩個質數之和 。陳景潤的成果為：任何一個偶數都能表示成一個質數和不多于兩個質數的乘積之和 。
3、費馬大定理：x的n次方+y的n次方=z的n次方，n>2時沒有整數解 。歐拉證明了3和4,1995年被英國數學家 安德魯*懷爾斯 證明 。
拓撲學部分：
1、多面體點面棱的關系：定點數+面數=棱數+2，笛卡爾提出，歐拉證明，也稱歐拉定理 。
2、歐拉定理推論：可能只有5種正多面體，正四面體，正八面體，正六面體，正二十面體，正十二面體 。
3、把空間翻過來，左手系的物體就能變成右手系的，通過克萊因瓶模擬，一節很好的頭腦體操，
摘自：/bbs2/ThreadDetail.aspx?id=31900
高中數學重點知識與結論分類解析一、集合與簡易邏輯1.集合的元素具有確定性、無序性和互異性.2.對集合，時，必須注意到“極端”情況： 或 ；求集合的子集時是否注意到 是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.3.對于含有 個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為 4.“交的補等于補的并，即 ”；“并的補等于補的交，即 ”.5.判斷命題的真假 關鍵是“抓住關聯字詞”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.6.“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點是“一真一假”.7.四種命題中“‘逆’者‘交換’也”、“‘否’者‘否定’也”.原命題等價于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價.反證法分為三步：假設、推矛、得果.注意：命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不變，僅否定結論’所得命題”，但否命題是“既否定原命題的條件作為條件，又否定原命題的結論作為結論的所得命題” ?.8.充要條件二、函 數1.指數式、對數式，，，，，，，，，，.2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一個集合 中的元素必有像，但第二個集合 中的元素不一定有原像（ 中元素的像有且僅有下一個，但 中元素的原像可能沒有，也可任意個）；函數是“非空數集上的映射”，其中“值域是映射中像集 的子集”.（2）函數圖像與 軸垂線至多一個公共點，但與 軸垂線的公共點可能沒有，也可任意個.（3）函數圖像一定是坐標系中的曲線，但坐標系中的曲線不一定能成為函數圖像.3.單調性和奇偶性（1）奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同.偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.注意：（1）確定函數的奇偶性，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱.確定函數奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等.對于偶函數而言有： .（2）若奇函數定義域中有0，則必有 .即 的定義域時，是 為奇函數的必要非充分條件.（3）確定函數的單調性或單調區間，在解答題中常用：定義法（取值、作差、鑒定）、導數法；在選擇、填空題中還有：數形結合法（圖像法）、特殊值法等等.（4）既奇又偶函數有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）.（7）復合函數的單調性特點是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必異性”.復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”.復合函數要考慮定義域的變化 。
（即復合有意義）4.對稱性與周期性（以下結論要消化吸收，不可強記）（1）函數 與函數 的圖像關于直線 （ 軸）對稱.推廣一：如果函數 對于一切，都有 成立，那么 的圖像關于直線 （由“ 和的一半 確定”）對稱.推廣二：函數，的圖像關于直線 （由 確定）對稱.（2）函數 與函數 的圖像關于直線 （ 軸）對稱.（3）函數 與函數 的圖像關于坐標原點中心對稱.推廣：曲線 關于直線 的對稱曲線是 ；曲線 關于直線 的對稱曲線是 .（5）類比“三角函數圖像”得：若 圖像有兩條對稱軸，則 必是周期函數，且一周期為 .如果 是R上的周期函數，且一個周期為，那么 .特別：若 恒成立，則 .若 恒成立，則 .若 恒成立，則 .三、數 列1.數列的通項、數列項的項數，遞推公式與遞推數列，數列的通項與數列的前 項和公式的關系： （必要時請分類討論）.注意： ； .2.等差數列 中：（1）等差數列公差的取值與等差數列的單調性.（2） ; .(3) 、也成等差數列.（4）兩等差數列對應項和（差）組成的新數列仍成等差數列.（5） 仍成等差數列.（6） , , , , .(7) ; ; .(8)“首正”的遞減等差數列中，前 項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數列中，前 項和的最小值是所有非正項之和；（9）有限等差數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還是奇數決定.若總項數為偶數，則“偶數項和”-“奇數項和”=總項數的一半與其公差的積；若總項數為奇數，則“奇數項和”-“偶數項和”=此數列的中項.（10）兩數的等差中項惟一存在.在遇到三數或四數成等差數列時，?？紤]選用“中項關系”轉化求解.（11）判定數列是否是等差數列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像法（也就是說數列是等差數列的充要條件主要有這五種形式）.3.等比數列 中：（1）等比數列的符號特征（全正或全負或一正一負），等比數列的首項、公比與等比數列的單調性.（2） ; .(3) 、、成等比數列； 成等比數列 成等比數列.（4）兩等比數列對應項積（商）組成的新數列仍成等比數列.（5） 成等比數列.（6） .特別： .（7） .(8)“首大于1”的正值遞減等比數列中，前 項積的最大值是所有大于或等于1的項的積；“首小于1”的正值遞增等比數列中，前 項積的最小值是所有小于或等于1的項的積；（9）有限等比數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還是奇數決定.若總項數為偶數，則“偶數項和”=“奇數項和”與“公比”的積；若總項數為奇數，則“奇數項和”=“首項”加上“公比”與“偶數項和”積的和.（10）并非任何兩數總有等比中項.僅當實數 同號時，實數 存在等比中項.對同號兩實數 的等比中項不僅存在，而且有一對 .也就是說，兩實數 。

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