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拉普拉斯方程是什么意思

生活百科拉普拉斯


拉普拉斯方程是什么意思

文章插圖
拉普拉斯方程（Laplace'sequation）,又名調和方程、位勢方程,是一種偏微分方程.因為由法國數學家拉普拉斯首先提出而得名.求解拉普拉斯方程是電磁學、天文學和流體力學等領域經常遇到的一類重要的數學問題,因為這種方程以勢函數的形式描寫了電場、引力場和流場等物理對象（一般統稱為“保守場”或“有勢場”）的性質.
詳見http://baike.baidu.com/view/34621.htm
用極坐標、直角坐標變換公式+拉普拉斯方程得來 。
推倒過程如下：
u''xx+u''yy=0
x=ρcosα，y=ρsinα
?u/?ρ=?u/?x.?x/?ρ+?u/?y.?y/?ρ=u'x.cosα+u'y.sinα
?2u/?ρ2=cosα(u''xx.x'ρ+u''xy.y'ρ)+sinα(u''yy.y'ρ+u''yx.x'ρ)
=cosα(u''xx.cosα+u''xy.sinα)+sinα(u''yy.sinα+u''yx.cosα)
=u''xx.cos2α+2u''xy.sinαcosα+u''yy.sin2α
ρ2?2u/?ρ2=ρ2u''xx.cos2α+2ρ2u''xy.sinαcosα+ρ2u''yy.sin2α.....（1）
?u/?α=?u/?x.?x/?α+?u/?y.?y/?α=u'x.（-ρsinα）+u'y.ρcosα
?2u/?α2=（-ρsinα）（u''xx.x'α+u''xy.y'α）+ρcosα(u''yx.x'α+u''yy.y'α)-u'x.（ρcosα）-u'y.ρsinα
=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)
-ρ[u'x.cosα+u'y.sinα]
=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)
-ρ?u/?ρ
=ρ2sin2αu''xx-2ρ2u''xysinαcosα+ρ2u''yy.cos2α-ρ?u/?ρ.........（2）
（1）+（2）
ρ2?2u/?ρ2+?2u/?α2=ρ2u''xx（cos2α+sin2α）+ρ2u''yy.（cos2α+sin2α）+2ρ2u''xy.sinαcosα-2ρ2u''xysinαcosα-ρ?u/?ρ
=ρ2u''xx+ρ2u''yy-ρ?u/?ρ
=ρ2（u''xx+u''yy）-ρ?u/?ρ
=-ρ?u/?ρ
ρ2?2u/?ρ2+?2u/?α2+ρ?u/?ρ=0
?2u/?ρ2+(1/ρ2)?2u/?α2+(1/ρ)?u/?ρ=0
擴展資料
基本概述
一個彎曲的表面稱為曲面，通常用相應的兩個曲率半徑來描述曲面，即在曲面上某點作垂直于表面的直線，再通過此線作一平面，此平面與曲面的截線為曲線，在該點與曲線相切的圓半徑稱為該曲線的曲率半徑R1 。
通過表面垂線并垂直于第一個平面再作第二個平面并與曲面相交，可得到第二條截線和它的曲率半徑R2，用R1與R2可表示出液體表面的彎曲情況 。
若液面是彎曲的，液體內部的壓強p1與液體外的壓強p2就會不同，在液面兩邊就會產生壓強差△P=P1-P2，稱附加壓強，其數值與液面曲率大小有關，可表示為：，式中γ是液體表面張力系數，該公式稱為拉普拉斯方程 。
在數理方程中
拉普拉斯方程為：
，其中?2為拉普拉斯算子，此處的拉普拉斯方程為二階偏微分方程 。三維情況下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問題歸結為求解對實自變量x、y、z二階可微的實函數φ：
其中?2稱為拉普拉斯算子 。
拉普拉斯方程的解稱為調和函數 。
如果等號右邊是一個給定的函數f（x，y，z），即：
則該方程稱為泊松方程 。拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的橢圓型偏微分方程 。偏微分算子
（可以在任意維空間中定義這樣的算子）稱為拉普拉斯算子，英文是Laplaceoperator或簡稱作Laplacian 。
參考資料
【拉普拉斯方程是什么意思】百度百科——拉普拉斯方程

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