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如何求函數的反函數

生活百科反函數


如何求函數的反函數

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求反函數的方法：
（1）從原函數式子中解出x用y表示；
（2）對換 x,y ,
（3）標明反函數的定義域
如：求y=√(1-x) 的反函數
注：√(1-x)表示根號下(1-x)
兩邊平方,得y2=1-x
x=1-y2
對換x,y 得y=1-x2
所以反函數為y=1-x2（x≥0)
說明：
反函數里的x是原函數里的y ,原函數中,y≥0,所以反函數里的x≥0 。
在原函數和反函數中,由于交換了x,y的位置,所以原函數的定義域是反函數的值域,原函數的值域是反函數的定義域 。
反函數就是從函數y=f(x)中解出x，用y表示 ：x=φ(y),如果對于y的每一個值，x都有唯一的值和它對應，那么x=φ(y)就是y=f(x)的反函數，習慣上，用x表示自變量，所以x=φ(y)通常寫成y=φ(y) (即對換x,y的位置) 。
求一個函數的反函數：
1、從原函數式子中解出　x　用　y　表示；
2、對換 x,y ；
3、標明反函數的定義域
注：反函數里的x是原函數里的y，原函數中，y≥0，所以反函數里的x≥0 。在原函數和反函數中，由于交換了x、y的位置，所以原函數的定義域是反函數的值域，原函數的值域是反函數的定義域 。
擴展資料：
反函數存在定理：
定理：嚴格單調函數必定有嚴格單調的反函數，并且二者單調性相同 。
在證明這個定理之前先介紹函數的嚴格單調性 。
設y=f(x)的定義域為D，值域為f(D) 。如果對D中任意兩點x1和x2，當x1<x2時，有y1<y2，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞增；當x1<x2時，有y1>y2，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞減 。
證明：設f在D上嚴格單增，對任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y 。
而由于f的嚴格單增性，對D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y ?？傊苁筬(x)=y的x只有一個，根據反函數的定義，f存在反函數f-1 。
任取f(D)中的兩點y1和y2，設y1<y2 。而因為f存在反函數f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D 。
若此時x1≥x2，根據f的嚴格單增性，有y1≥y2，這和我們假設的y1<y2矛盾 。
因此x1<x2，即當y1<y2時，有f-1(y1)<f-1(y2) 。這就證明了反函數f-1也是嚴格單增的 。
如果f在D上嚴格單減，證明類似 。
求反函數的步驟：
1、反解方程,將x看成未知數,y看成已知數,解出x的值 。
2、將這個式子中的x,y兌換位置,就得到反函數的解析式 。
3、求反函數的定義域，這個是很重要的一點，反函數的定義域是原函數的值域 。
【如何求函數的反函數】則轉變成求原函數的值域問題，求出了解析式，求出了定義域，就完成了反函數的求解 。

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