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拓撲學探秘折紙，拓撲學探索

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拓撲學探秘折紙，拓撲學探索

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拓撲學是什么？：
拓撲學探秘折紙，拓撲學探索

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拓撲學的英文名是Topology，直譯是地志學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科 。我國早期曾經翻譯成“形勢幾何學”、“連續幾何學”、“一對一的連續變換群下的幾何學”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的 。

拓撲學最初是幾何學的一個分支，主要研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質，現在已成為研究連續性現象的重要的數學分支 。但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同 。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質 。拓撲學對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關系都無關 。

拓撲學起初叫形勢分析學，是萊布尼茨1679年提出的名詞 。十九世紀中期，黎曼在復函數的研究中強調研究函數和積分就必須研究形勢分析學 。從此開始了現代拓撲學的系統研究 。

連續性和離散性是自然界與社會現象中普遍存在的 。拓撲學對連續性數學是帶有根本意義的，對于離散性數學也起著巨大的推動作用 。拓撲學的基本內容已經成為現代數學的常識 。拓撲學的概念和方法在物理學、生物學、化學等學科中都有直接、廣泛的應用 。

幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬于幾何學的范疇 。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了 。那時候發現一些孤立的問題，后來在拓撲學的形成中占著重要的地位 。

在數學上，關于哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題 。
拓撲學的起源與形成：
拓撲學是一門重要的數學基礎學科，它和代數學一起構成數學的兩大支柱 。如果說代數學研究的是離散運算的一般理論，那么拓撲學則是研究連續映射的一般理論 。和其他數學分支相比，拓撲學是一門年輕的學科，它在20世紀初才從十九世紀的若干發展結晶成幾何的一個分支 。拓撲學所研究的是幾何圖形的那些經過任意變形后，保持不變的性質 。這些變形可以是壓縮、拉伸或任意的彎曲等等，但是，在變形過程中不允許產生新點，也不允許兩點粘合在一起 。這就是說，圖形相鄰近的點，變形后仍然是相鄰近的，這種性質稱為連續性；此外，圖形和變形的點之間存在一個一一對應 。因此，要求這個變形是連續的，并且逆變換也是連續的，這種變換稱為拓撲等價或同胚 。拓撲學有一個形象的外號--橡皮幾何學，因為如果圖形是用橡皮做成的，就能把許多圖形變成同胚的圖形 。
拓撲學有很多不同的起源，這就使它分立成幾個分支，主要是點集拓撲和代數拓撲
點集拓撲，又稱一般拓撲，是在Cantor 集合論的強烈影響下形成的，它肇使于Frechet 1906年關于一般度量空間理論的論文和Hausdorff 1912年“集論基礎”一書的出現 。Hilbert 空間，Banach空間的引進，泛函分析的興起，展現了把抽象點集引進適當結構而作為空間來研究的重要性 。拓撲空間是這樣的集合，它上面賦于某種結構，利用這種結構，我們可以談點或子集之間的鄰近性，從而可以談映射的連續性 。
在古典分析以泛函分析中，序列的極限居重要地位，因而使得分析中起作用的那些性質都是拓撲性質 。泛函分析中的算子就是從一個空間到另一個空間的映射 。因此，拓撲學自然地成為研究泛函分析的工具 。
代數拓撲的起源和點集拓撲的起源是不同的，它的歷史可以追溯到更為久遠，在關于多面體的Euler 定理中已見代數拓撲的端倪 。Euler 對于這個定理感興趣是因為要用它來作多面體的分類 。但他沒有注意到連續變換下的不變性 。
曲面的分類和Riemann的復變函數論方面的工作是推動拓撲學 。他引進了基本群和同調群 。促使他研究拓撲學是一些經典的幾何問題和積分理論 。
拓撲學的方法和許多概念已經滲透到數學的幾乎所有領域，并在諸如物理學、化學和生物學等學科中得到了應用，今后這些應用定會更加廣泛 。
《拓撲學》、生物學(如DNA的環繞、拓撲異構酶)都有直接的應用 。
什么是拓撲學?：
拓撲學(topology)是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀后還能保持不變的一些性質的學科 。它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小 。

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