牛頓為了得到正弦函數sinX的無窮級數，他首先用幾何方法快速的得出了反正弦函數arcsinX的無窮級數形式，這在上一篇文章已經討論過了首先假設sinZ=X圖一上一篇中我們已經得到圖二因為sinZ=X，
牛頓為了得到正弦函數sinX的無窮級數，他首先用幾何方法快速的得出了反正弦函數arcsinX的無窮級數形式，這在上一篇文章已經討論過了
首先假設sinZ=X
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圖一
上一篇中我們已經得到
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圖二
因為sinZ=X，所以Z等于
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圖三
牛頓由此將上式寫成一個等式方程的形式，如下圖所示，
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圖四
牛頓的錦囊妙計就是，他不直接去求X表示的弧長Z的級數，而是尋思相反的過程 。牛頓利用他的逆過程，將Z=arcsinX級數轉換成X=sinZ的級數 。
首先牛頓舍棄所有指數大于2的項，這樣就得到X-Z=0 從而逆級數X=Z
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圖五
牛頓認識到舍棄全部高階項會導致不準確的結果，準確的答案應該具備X=Z+P，其中P是待定的級數，如下圖
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圖六
將X=Z+P帶入arcsinX的級數中得到
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圖七
全部展開整理得到如下結果
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圖八
牛頓在這里舍棄上述方程中P的2次方，3次方和更高次方項，求解得到
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圖九
牛頓進行第二輪刪除，他舍棄分子中除Z最低次方外的所有高次方項，舍棄分母中的所有Z的高次方，就得到P=-Z^3/6+q,，這里的q是仍是一個待確定的級數，
此時我們就得到sinZ級數的前兩項Z-Z^3/6
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圖十
為了確定q，我們將其帶入 圖七，得到
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圖十一
同樣可以求出q的值等于Z^5/120，所以我們得到了sinZ級數的前三項
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圖十二
依次類推，牛頓就推導出了正弦函數sinZ的無窮級數的所有項
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【請問大家arcsinx是什么意思arcsinx是數學概念嗎】牛頓推導sinX的原過程
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