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沈括：在中國古代數學史上開辟高階等差級數研究的方向

生活百科芻童

沈括對數學也有著獨到的研究 。剛過“而立”之年的沈括，曾在一位轉運使手下當官 。在頻繁的接觸中，轉運使發現沈括才華出眾，很想把才貌雙全的女兒嫁給他 。正在這時，一位多嘴多舌的同僚告訴他，說近來沈括常出入酒館，回來就閉門不出，想必是醉得人事不省，在蒙頭大睡哩 。轉運使聽后心中十分不悅：沒想到這青年平時儀表堂堂，做事一絲不茍，竟是個酒鬼！這樣想著，便徑直闖入沈括住處 。推開門一看，那沈括正在擺弄桌上摞起來的酒杯 。見轉運使大駕光臨，沈括忙讓座倒茶，并把這些天的發現對上司娓娓道來 。原來，酒館里常把酒桶堆成長方臺形體，從底層向上，逐層長寬各減一個，看上去四個側面都是斜的，中間自然形成空隙，這在數學上稱為“隙積” 。
所謂“隙積”，指的是有空隙的堆積體、例如酒店中堆積的酒壇、疊起來的棋子等，這類堆積體整體上就像一個倒扣的斗，與平截頭的長方錐（芻童）很像 。但是隙積的邊緣不是平的，而中間又有空隙，所以不能照搬芻童的體積公式 。沈括經過思考后，發現了正確的計算方法 。他以堆積的酒壇為例說明這一問題：設最上層為縱橫各2個壇子，最下層為縱橫各12個壇子，相鄰兩層縱橫各差1壇，顯然這堆酒壇共11層；每個酒壇的體積不妨設為1，用芻童體積公式計算，總體積為3784／6，酒壇總數也應是這個數 。顯然，酒壇數不應為非整數，問題何在呢？沈括提出，應在芻童體積基礎上加上一項“（下寬－上寬）×高／6”，即為110／6，酒壇實際數應為（3784＋110）／6＝649 。加上去的這一項正是一個體積上的修正項 。在這里，沈括以體積公式為基礎，把求解不連續的個體的累積數（級數求和），化為連續整體數值來求解，可見他已具有了用連續模型解決離散問題的思想 。
數學上又把計算中間空隙的體積的方法，叫做“隙積術” 。他苦思冥想，就是在研究“隙積術” 。
轉運使聽罷，這才轉怒為喜 。沒多久，沈括便成了轉運使的乘龍快婿 。沈括是歷史上第一個發明“隙積術”的人 。日本數學家山上義夫評價說：“沈括這樣的人物，在全世界數學史上找不到，唯有中國出了這樣一個 。我把沈括稱做中國數學家的模范人物或理想人物，是很恰當的 。”
沈括還從計算田畝出發，考察了圓弓形中弧、弦和矢之間的關系，提出了我國數學史上第一個由弦和矢的長度求弧長的比較簡單實用的近似公式，這就是“會圓術” 。這一方法的創立，不僅促進了平面幾何學的發展，而且在天文計算中也起了重要的作用，并為我國球面三角學的發展作出了重要貢獻 。
會圓術是對圓的弧矢關系給出的比較實用的近似公式，主要思想是局部以直代曲 。沈括進一步應用《九章算術》中弧田的面積近似公式，求出弧長，這便是會圓術公式 。沈括得出的雖是近似公式，但可以證明，當圓心角小于45°時，相對誤差小于2％，所以該公式有較強的實用性 。這是對劉徽割圓術以弦（正多邊形的邊）代替圓弧思想的一個重要佐證，很有理論意義 。后來，郭守敬、王恂在歷法計算中，就應用了會圓術 。
此外，沈括還應用組合數學法計算，得出圍棋可能的局數是3361種，并提出用數量級概念來表示大數3361的方法 。沈括還在書中記載了一些運籌思想，如將暴漲的汴水引向古城廢墟來搶救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、運輸，最后又將建筑垃圾填河成路的方法來修復皇宮等 。沈括對數的本質的認識也很深刻，指出：“大凡物有定形，形有真數 。”顯然他否定了數的神秘性，而肯定了數與物的關系 。他還指出：“然算術不患多學，見簡即用，見繁即變，乃為通術也 。”
沈括的研究，發展了自《九章算術》以來的等差級數問題，在我國古代數學史上開辟了高階等差級數研究的方向 。
沈括對物理學研究的成果也是極其豐富而珍貴的 。在光學方面，沈括通過親自觀察實驗，對小孔成像、凹面鏡成象、凹凸鏡的放大和縮小作用等作了通俗生動的論述 。他對我國古代傳下來的所謂“透光鏡”（一種在背面能看到正面圖案花紋的銅鏡）的透光原因也做了一些比較科學的解釋，推動了后來對“透光鏡”的研究 。沈括精心設計了一個聲學共振實驗，他剪了一個紙人，把它固定在一根弦上，彈動和該弦頻率成簡單整數比的弦時，它就振動使紙人跳躍，而彈其他弦時，紙人則不動 。沈括把這種現象叫做“應聲” 。用這種方法顯示共振是沈括的首創 。在西方，直到十五世紀，意大利人才開始做共振實驗 。至今，在某些國家和地區的中學物理課堂上，教師還使用這個方法給學生做關于共振現象的演示實驗 。

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