定理 6. 給定一個從單位方形
到
的分片線性映射, 并且在邊界點(diǎn)附近
是單值, 那么一定存在一個分片線性的嵌入, 它在邊界附近
與一致.
的證明使用了巧妙的塔構(gòu)造, 可簡述如下: 像集
的正則鄰域 N 是一個帶邊的三維流形. 如果某一邊界分支有非零的虧格, 我們可以放在 N 的復(fù)迭空間中, 奇異的圓盤被提升到復(fù)迭空間中的奇異圓盤. 關(guān)鍵的步驟是提升的圓盤有更簡單的奇異, 于是在重復(fù)這一步驟有限次之后, 我們會達(dá)到虧格零的情形. 從而證明完成. 一個重要的推論如下:
設(shè)
是一個簡單閉的分片線性曲線. 那么 K 不打結(jié)當(dāng)且僅當(dāng)
.實(shí)際上, 如果 K 是打結(jié)的,
會含有子群
, 它來自于K 的管狀鄰域邊界.
3.8Haken, 慕尼黑,, 波恩, 20 世紀(jì) 60 年代
由定義, 在緊致可定向的分片線性三維流形M 中的不可壓縮曲面是一個緊致可定向的分片線性曲面 F, 滿足:
? 基本 π1(F) 非平凡, 并嵌入于 π1(M ), 并且
? 如果 F 有邊, 那么 M 必定有邊并且 ?F ? ?M .
有這樣不可壓縮曲面的不可約流形稱為 “充分大流形”, 或 Haken 流形. (這里, 不可約是指任意的嵌入二維球面都以三維球體為邊界.) 給定一個不可壓縮曲面, 再沿著它切開, Haken 在1962 年證明人們可歸納地構(gòu)造一系列不可壓縮曲面, 將流形分成單連通的塊. 他從沒發(fā)表該文章的下一部分, 其中應(yīng)含有他所做論證的細(xì)節(jié).在1968 年發(fā)表了一個完整的論述, 并含有進(jìn)一步更重要的結(jié)果. 特別地, 他證明任意一個閉的 Haken 流形, 在相差一個分片線性同構(gòu)意義下, 由其基本群唯一決定. (在有邊 Haken 流形的情形, 人們還必須考慮對應(yīng)于邊界分支的子群.) 后來,與[1989] 利用這一工作, 證明出素紐結(jié)被其補(bǔ)集的基本群唯一決定.
3.9D. , 耶魯, 1968 年
【二 拓?fù)鋵W(xué)集合（收集中）】下面一個重要貢獻(xiàn)來自于完全不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.
剛性定理. 維數(shù)≥3的有曲率 K ≡ ?1 的閉 流形, 在相差一個等距意義下, 由其基本群唯一決定.
此結(jié)果也被證出, 由擴(kuò)展到體積有限的完備流形中. 一個重要的推論是:
這種流形的體積也是一個拓?fù)洳蛔兞?
這是一個全新類型的拓?fù)洳蛔兞? 與以前所知的完全不同. 許多其他的同構(gòu)不變量現(xiàn)在提升成同倫不變量, 如閉測地線的長度和算子的特征值. 然而, 體積是一個特別方便進(jìn)行研究的不變量.
在 20 世紀(jì) 70 年代,Riley, 一個英格蘭南安普頓的博士研究生, 研究紐結(jié)群到雙曲三維空間自同構(gòu)群 PSL(2, C) 的表示, 集中在將緯元和平行于紐結(jié)的元素映到群中拋物元素的那些表示. 他發(fā)現(xiàn)了幾個例子 (包括 8 字型紐結(jié)), 其表示不僅將
同構(gòu)地映至PSL(2, C) 的子群
, 而且能提升成從紐結(jié)補(bǔ)集到商空間
的同胚, 這是一個體積有限的雙曲流形, 即它在一個常負(fù)曲率度量下是完備的, 并且體積有限.
這樣, 8 字型紐結(jié)在
中的補(bǔ)集能被賦予一個體積有限的完備的雙曲結(jié)構(gòu).
依然是在 20 世紀(jì) 70 年代, 哥倫比亞大學(xué)的J? 發(fā)現(xiàn)了 PSL(2, C) 子群
的一些例子, 其商空間
是有圓周上纖維叢結(jié)構(gòu)的緊致雙曲流形.
3.10, 普林斯頓, 20 世紀(jì) 70 年代后期
找到了更多的雙曲紐結(jié)補(bǔ)空間. 他計(jì)算了 8 字型紐結(jié)補(bǔ)的體積, 通過將其 “三角剖分” 成兩個理想等邊 3 維單形來進(jìn)行. (參見 [1912]. ) 使用可追溯到 的方法, 該體積是
關(guān)于雙曲體積, 他的主要結(jié)果可敘述如下:
定理 7. 雙曲三維流形所有體積值組成的集合是一個良序集, 即其中任何一個非空子集有最小元素. 更進(jìn)一步, 對任何固定的體積, 最多存在有限多個互不同胚的流形.
實(shí)際上, 有 k(k≥1) 個端的任意一個流形的體積是有 k ? 1 個端流形體積的遞增極限. 想法是每個端等同于
一個嵌入復(fù)本, 它可以被切掉而用一個實(shí)心環(huán)
以無限個不同的方式替代. 幾乎所有這些簡化后的流形都能被賦予雙曲結(jié)構(gòu), 它們的體積遞增地趨向原來流形的體積.
舉一個例子,鏈環(huán)在
中的補(bǔ)有兩個端, 對應(yīng)于鏈環(huán)的兩個分支. 圖中相繞的實(shí)心環(huán)中的一個或者兩個可以挖空并以無限多的方式填充上新的實(shí)心環(huán). 在此特殊的情形, 鏈環(huán)的補(bǔ)有雙曲體積 V = 3.66386 · · · .
3.11Jaco, Peter , Klaus , 20世紀(jì) 70 年代后期
以這三位命名的 JSJ 分解, 是沿著嵌入的球面或環(huán)面切割把三維流形分解成更簡單小塊的方式.
下面是其中的一種敘述.
定理 8. 任意一個不可約的定向三維流形都有一個 (相差同痕) 唯一的互不相交的嵌入不可壓縮環(huán)面組成的最小集, 使得沿這些環(huán)面切開的三維流形分支或者是非環(huán)性的 ()或者是纖維化.
此處非環(huán)性表示, 它不再有不可壓縮的嵌入環(huán)面.
3.12 , 1982 年: 幾何化猜想
這個大膽的猜想指出每個三維閉流形都由一些有簡單幾何結(jié)構(gòu)的塊組成. 確切地說, 猜想斷言每個光滑三維閉流形都可以通過一些嵌入的球面和環(huán)分解成若干
, 任意一個
都能被賦予局部齊性結(jié)構(gòu), 使得萬有復(fù)迭
是齊性空間能性.
更進(jìn)一步,
恰有八種可能性, 其中的三個是經(jīng)典的幾何:
(1)球面
, 有曲率 K ≡ +1. 以
為萬有復(fù)迭的流行已由在1952年分類.
(2) 歐氏空間
, 有曲率 K ≡ 0. 對應(yīng)的緊致平坦流形已由在 1911 年分類.
(3) 雙曲空間
, 有曲率 K ≡ ?1. 它是最有趣和最困難的情形.
下面兩個幾何很容易理解.
(4)
. 例如,
(5)
. 例如,
(雙曲曲面).
至于最后三個幾何,
將是三維李群, 帶有最大對稱的左不變度量.
(6) 冪零幾何, 有冪零群
.例如, 環(huán)面上非平凡圓周叢.
(7) 可解幾何, 有可解群
.例如, 圓周上大多數(shù)環(huán)面叢.
(8)
幾何. 例如, 雙曲曲面的單位切叢.請注意幾何化猜想包含 é 猜想做為一個特例.在許多有趣并且困難的情形證明了幾何化猜想. 然而一般的情形, 特別是 é 猜想, 躲開了他.
3.13, 康奈爾大學(xué), 1982 年
利用微分方程
的 Ricci 流為研究流形的拓?fù)湟肓巳碌姆椒? 這里的
是流形在局部坐標(biāo)下的度量張量, 而
是 Ricci 曲率張量. 與熱傳導(dǎo)方程有些相似, 熱量從熱的區(qū)域流向冷的區(qū)域, 使得趨向常溫. 同樣地, 在 Ricci 流下, 曲率可直觀地想象成從正曲率區(qū)域流向負(fù)曲率區(qū)域, 趨向于曲率的一致分布.
如果我們的出發(fā)點(diǎn)是嚴(yán)格正 Ricci 曲率的流形,能夠做出證明. 這種情形, 度量流向常正曲率的度量, 從而且證明該流形微分同胚于標(biāo)準(zhǔn)的三維球面. 但對于更一般的初始條件,度量會發(fā)生復(fù)雜的奇點(diǎn),沒能取得更多的進(jìn)展.
3.14, 圣彼得堡, 2003 年
通過對Ricci 流所產(chǎn)生奇點(diǎn)的仔細(xì)和精巧分析,解決了遇到難題. 一些奇點(diǎn)相對可控, 可以消除. 其他一些對應(yīng)于將嵌入球面收縮成一點(diǎn), 于是對應(yīng)于連通和分解. 同樣還有其他的奇點(diǎn), 對應(yīng)于環(huán)面分解. 最后, 當(dāng)沒有奇點(diǎn)時, 流導(dǎo)致趨于齊性的極限. 以這種方式,我們能完成全部幾何化猜想的證明, 包括做為一個特例的é猜想.
※ 進(jìn)一步的注記：
A3.1. . 如今, 我們習(xí)慣于用分解討論分片線性流形. (如見 [1976].) 然而, 使用 Smale 型的論證和 “好” 的Morse 函數(shù), 我們同樣地可以構(gòu)造光滑流形的分解. 的原始論證的確使用了可微的方法, 但是以一個相當(dāng)直觀的風(fēng)格.
A3.2. é.非平凡 é 同調(diào)球的一個方便模型是球形正十二面體空間, 從一個正十二面體通過等同相對的面得到, 等同過程是球面上的一個移動復(fù)合上一個 2π/10 旋轉(zhuǎn).仔細(xì)觀察, 由此產(chǎn)生的空間可以賦予常正曲率度量. (參見和[1934].) 不難發(fā)現(xiàn), 它同胚于陪集空間
. 這個陪集空間可以等效描述為: 空間一點(diǎn)對應(yīng)于中心在原點(diǎn)的正二十面體 (或十二面). 關(guān)于十二面體空間相當(dāng)于 é原始構(gòu)造的證明見 [1978].
如同對待 19 世紀(jì)的所有數(shù)學(xué)一樣, 我們必須小心, 因?yàn)橛行┰~的意義已經(jīng)改變. 對于 é, “單連通” 空間是指拓?fù)渖系陌换蚯蛎? 他的“Betti 數(shù)” 是我們的 Betti 數(shù)加一.
A3.3. . 在 20 世紀(jì) 30 年代晚期,是上同調(diào)理論創(chuàng)始人之一, 定義了任意緊度量空間的上同調(diào)群. ( 的上同調(diào)群是同構(gòu)于幾年后定義的 Cech 上同調(diào)群, 雖然構(gòu)造極為不同.)
我從來沒有見過 , 他從 1951 年在高等研究院退休時, 就隱居起來, 直到他二十年后離世. 也許他想呆在人們的視線之外, 因?yàn)辂溈ㄥa時代的政治氣候?qū)τ谒菢拥某肿笠碚斡^點(diǎn)的人是很危 險的.是繼承財(cái)產(chǎn)的一個百萬富翁, 從來沒有領(lǐng)取研究院的工資.
A3.4. . 如果流形 M 非素, 那么它可以被描述為連通和
. 類似地, 如果其中的一個流形不是素的, 則它也可以表示為連通和, 以此類推. 問題是要證明這個構(gòu)造必定能最終停止. 我在 50 年前試圖解決這個問題 (見[1962]), 然后如釋重負(fù)地也是懊惱地發(fā)現(xiàn)在我出生之前就解決了它.
, 像 , üller 和 Witt 一樣, 是納粹黨的早期支持者.
A3.7. . 他在普林斯頓的大部分時間, 我在那里. 我肯定認(rèn)識他, 但不記得曾經(jīng)與他有過交流, 也許我們都很害羞. 他很努力地獨(dú)自工作, 得到了由 Ralph Fox 設(shè)法安排的一個小的資助. 當(dāng)他的結(jié)果發(fā)現(xiàn)時, 我全然驚呆了, 我想其他人也會是這樣吧. 他的重要結(jié)果, 不僅包括 Dehn 引理, 而且還有環(huán)路定理, 它是一個更強(qiáng)的版本以及球定理. 球定理斷言: 對于滿足條件
的每一個可定向的分片線性三維流形M , 都可以找到一個分片線性的嵌入球面, 它代表
中一個不平凡的元素.
在之前和之后, 有一個很長的紐結(jié)理論的歷史. 開始于由P.G.Tait 在19世紀(jì)的一次嘗試, 接下來有J.W. , K.和許多人的工作. 更完備的描述, 可見于:和 Fox [1963],[1976],[1997] 以及[2014].
哪些數(shù)可成為雙曲三維流形的體積? 這樣的數(shù)論將會是很有趣.(例如, 見 Borel [1981] 和[1986], 還有我在[1980, 第 7 章]中的評述).
與交談使我感到非常好奇, 我是典型地對他的數(shù)學(xué)斷言持懷疑態(tài)度的人. 他的斷言經(jīng)常是非常瘋狂, 但他卻從未出錯.
§4. 四維流形
復(fù)二維代數(shù)簇, 也就實(shí)的四維流形, 早期研究者有 與[1897, 1906], é [1904],[1905],[1924]. 物理學(xué)家感興趣的四維流形, 是那些可能做為時空模型的一類 (見[1922]) .然而除了與 [1934] 中的一些少數(shù)內(nèi)容之外, 一般四維流形的正式的拓?fù)鋵W(xué)研究在 20 世紀(jì) 50 年代才開始.那時, 一般地認(rèn)為 n 維流形的拓?fù)鋾S著 n 增加而越來越難, 這到四維為止的確是正確的.
4.1 A. A.Jr., 莫斯科, 1958 年
對四維流形的研究做出了一個破壞性的貢獻(xiàn).
定理 9. 對于 n≥4, 在同胚意義下分類 n 維流形是算法上不可解的.
這里說一下證明概要,為簡單起見取 n = 4.
給定一個群表現(xiàn) P , 有 p 個生成元和 q 個關(guān)系, 構(gòu)造一個相應(yīng)的四維流形M (P) 如下: 從 p 個
的連通和開始, 挖去 q 個互不相交的
, 代表q 個關(guān)系. 然后, 在每個挖空處填充上一個
, 從而消掉基本群中對應(yīng)元素. 現(xiàn)在設(shè) P' 是由 P 加上 p 個平凡關(guān)系“1” 所得的表現(xiàn), 證明 M (P') 同胚于 q 個
連通和當(dāng)且僅當(dāng)相應(yīng)的群平凡. 因?yàn)橛邢薇憩F(xiàn)群的平凡性問題是算法不可解的 (見 Adyan [1955]), 所以結(jié)論成立.
因此, 分類四維流形定理, 我們只能希望建立在有已確定基本群的流形中.
4.2 J. H. C. , 牛津, 1949 年
近期,在同倫型意義下分類了四維復(fù)形. 應(yīng)用于流形, 他的結(jié)果有如下推論 (參見[1958].).
推論1. 單連通的定向四維閉流形, 在同倫型意義下, 由如下的相交形式
決定. 這個形式是對稱、雙線性和幺模的 (即: 其行列式為 ±1).
這種對稱雙線性形式的分類是數(shù)論中重要而不平凡的問題. 不定形式的分類是容易的, 而正定的情形極困難, 因?yàn)椴煌问綌?shù)隨著秩數(shù)極快地增長.
例如, 由 Carl的工作可知, 有多于 904, 000, 000 個不同的秩為 30 的正定幺模的形式.
4.3, 莫斯科, 1952 年
下面的結(jié)果是理解高維流形的重要一步, 亦是微分拓?fù)涞拈_端.
定理 10. 如果一個光滑四維閉流形有正定的相交形式, 并且自相交數(shù) u·u≥0 僅取偶數(shù), 那么該形式的秩 (即中間維數(shù)的Betti 數(shù)) 能被 16 整除.
與之形成對比的是, 一個僅取偶數(shù)值的正定幺模形式的秩可以是 8 的任意倍數(shù). 最簡單的非平凡例子可由 E8 的圖來表示, 如下所示
這里的每個圓點(diǎn)都表示有自相交數(shù) u·u = 2 的基向量, 兩個相異基向量的相交數(shù), 在有連線時是 +1, 在其余情況是 0. 因此, 沒有光滑四維閉流形以這個對稱雙線性形式為相交形式.
在當(dāng)時, 限制到光滑流形似乎像一個小的技巧,但最終成為一個關(guān)鍵.
4.4, 加州大學(xué)圣迭戈分校, 1982 年
定理 11. 單連通定向四維閉流形在同胚的意義下唯一決定于
? 它的相交形式, 和
? 它的 “Kirby- 不變量”. 這是一個
中的元素, 在光滑流形情形總是零.
更進(jìn)一步, 任意一個對稱雙線性的幺模形式都能被拓?fù)淞餍螌?shí)現(xiàn).
由此特別會得出, 存在著許多拓?fù)渌木S閉流形, 它們有偶的正定形式, 其秩模 16 是 8. 按照 的結(jié)論, 這類流形 M 在如下更強(qiáng)的意義下沒有光滑結(jié)構(gòu).
與 M 有相同倫型的四維流形都沒有光滑結(jié)構(gòu).
的證明基于極端不可微的方法, 并含有 grope 這一概念.(概念以及示例說明, 都?xì)w于[1978].)
4.5 Simon , 牛津, 1983 年
利用完全不同的方法證出一個神奇的結(jié)果.
定理 12. 如果說一個光滑的單連通四維閉流形 M 有正定的相交形式, 那么該形式是可對角化的.
這樣, 加上的結(jié)果, M 必然同胚于連通和
要說明這兩個結(jié)果的鮮明對比, 請注意:
推論2. 在超過 904, 000, 000 個有秩為 30 正定相交形式的拓?fù)淞餍瓮哳愔? 僅有一個能被光滑流形表示.
的證明是基于 “瞬子 ()” 研究, 這是來自數(shù)學(xué)物理的啟發(fā). 所用的拓?fù)鋵W(xué)很少, 但有大量的深刻的分析學(xué).
4.6, 哈佛, 1987 年
很多數(shù)學(xué)家注意到, 將的核心拓?fù)浜?的分析方法相結(jié)合有著更奇妙的推論.(參見 Gompf [1983, 1993].) 現(xiàn)舉一個來自于的例子:
定理 13. 歐氏空間
能被賦予不可數(shù)多個互不相同的微分結(jié)構(gòu).
與之相反, 對于 n≠4,
在微分同胚意義下有唯一的微分結(jié)構(gòu). 因此, 維數(shù)4 與其他維數(shù)確定不同!
4.7 結(jié)語: 接下來會是什么?
關(guān)于光滑四維流形, 依然有很多內(nèi)容要了解. 光滑的 é 猜想在四維是一個誘人的未解決問題. (參見, Gompf, 和 [2010]) 讓我們看一下在其他維數(shù)都知道什么:
對于 n≥1, 容易看出同胚于 n 維球面的保向微分同胚類在連通和運(yùn)算下, 形成一個交換并結(jié)合的半群
.定理 14 ( 和 ). 對于 n≠4, 該半群
實(shí)際上是有限交換群.
可是, 半群
全然未知: 它平凡嗎? 若不平凡, 它是個群嗎? 它多大? 若不是一個群, 它是什么樣的半群?
※ 注記：
A4.2. . 更多的細(xì)節(jié), 參見[1949a] 以及 [1958].是一個很好的朋友, 是我所見過的以養(yǎng)豬為愛好的唯一數(shù)學(xué)家.
對稱雙線性形式
, 其中 x 和 y 取值于自由交換群
, 通常等同于二次型
有關(guān)這種形式的綜述, 見 Serre [1970] 或 和[1973]. 由定義,如果兩個形式有相同的秩和符號差 (這說明它們在實(shí)數(shù)域上同構(gòu)), 并且它們對任意 n 是模 n 同構(gòu)的, 則稱它們有相同虧格. 在幺模情形, 若固定秩 r 和符號差 σ, 僅有兩種虧格:“偶”, 僅取偶數(shù)值; “奇”, 取奇或偶數(shù)值. 這些不變量僅有顯然的限制條件 |σ|≤r 和 σ≡r(mod 2), 及不大顯然的條件: 在偶的情形有 σ≡0(mod 8). 實(shí)際上, 在不定的幺模情形, 虧格是完全的同構(gòu)不變量. 可是, 在定號的情形下 ，  Carl關(guān)于虧格 “質(zhì)量” 的解析計(jì)算得出了相異同構(gòu)類個數(shù)的很有用的下界. 由定義, 質(zhì)量是對該虧格所有同構(gòu)類 Φ 求和, 并除以 |Aut(Φ)|, 其中 |Aut(Φ)|≥2 是代表二次型自同構(gòu)群的階數(shù).
A4.3..定理 (使用現(xiàn)代記號) 的最初形式是:一個帶有 – 類w2 = 0 的四維流形一定有被48 整除的 類p1. 事實(shí)上,數(shù)p1[M4]等于三倍的符號差. 在單連通的情況下, 相交形式是偶的當(dāng)且僅當(dāng) w2 = 0. 他的基于示性類之間的關(guān)系、配邊、以及低維球面的同倫群的證明, 激發(fā)了微分拓?fù)溲芯康男骂I(lǐng)域. (René Thom 配邊的完整理論兩年后才發(fā)表.) 關(guān)于進(jìn)一步發(fā)展, 見和 [1960] 或 [1966, 199 頁].也因遍歷理論中的貢獻(xiàn), 而為人所知.
的人生相當(dāng)坎坷. 他的父親在斯大林的大清洗中于 1941被處決,自己在保衛(wèi)莫斯科戰(zhàn)斗中受傷, 在德國的一個戰(zhàn)俘營被囚禁了一年或兩年, 之后設(shè)法逃脫并最終加入蘇聯(lián)軍隊(duì). 戰(zhàn)爭結(jié)束后, 他又被關(guān)在一個蘇聯(lián)營地中一年多的時間, 因?yàn)樗勾罅謱Ψ祷氐膽?zhàn)爭囚犯是非常懷疑的. 最后, 經(jīng)過和的調(diào)解, 他被釋放并擔(dān)任了一段時間的助手. 在 1952 年, 有傳言說所有少數(shù)民族的猶太人將被驅(qū)逐到遠(yuǎn)東, 他找到一個更安全的地方: 在北部的阿爾漢格爾斯克林業(yè)研究所. 在那里, 他在一個很低的位置上度過了幾年. 最后, 于 1959 年他得到在列寧格勒州立大學(xué)的職位. 在那里, 他的學(xué)生有: Yakov ,,和 Oleg Viro.
A4.4. . 在 “偶” 相交形式的情形下,的定理更準(zhǔn)確地說明 Kirby- 不變量可以視為 σ/8(mod 2), 其中 σ 是符號差. 另一方面, 在 “奇” 的情形下,Kirby- 不變量和相交形式都可以獨(dú)立地變化. 因此, “最簡單” 的非光滑例子有與復(fù)射影平面相同的倫型.
Kirby- 不變量做為
的一個上同調(diào)類, 定義更一般的任意維數(shù)的拓?fù)淞餍紊? 在嚴(yán)格大于 4 (或當(dāng) M 有邊時, 大于 5) 的維數(shù)情形下, 該變量為零當(dāng)且僅當(dāng)流形有一個局部分片線性同胚于歐氏空間的三角剖分. (在四維流形情形, 我們僅可以說: 它消失當(dāng)且僅當(dāng) M × R 有這樣一個三角剖分.) 類似地, 給定分片線性流形的兩個復(fù)本 M × 0 和 M × 1的三角剖分, 有一個在
中的關(guān)于擴(kuò)充三角剖分到分片線性流形 M × [0, 1] 上的阻礙.
的原始證明是基于柄體這一概念 (或稱 “柔性柄體”), 加厚的 2 維圓盤的一個變種. 本節(jié)圖中說明了相關(guān)的概念 grope, 這歸功于[1978]. 參見Kirby[1989] 或 [2005] 中的闡述. 的非光滑流形對我來說是很神秘的事物. 我們知道他們的存在, 但似乎對其中的任何一個, 都不可能構(gòu)建一個完全明確的描述.
近年來,已成為一位應(yīng)用拓?fù)鋵W(xué)家, 他是微軟的 Q 工作間( Q) 的負(fù)責(zé)人, 這個部門試圖用拓?fù)涞南敕ń⒁粋€能運(yùn)行的量子計(jì)算機(jī).
A4.5. . 這是關(guān)于論證的一個非常粗略的輪廓. (參見[1983, 1983b],和 [1990].)
給定一個有正定相交形式的四維流形 M , 他選擇 M 上一個特定的 SU2 叢, 考察叢上所有 “自對偶” 聯(lián)絡(luò) (或 “瞬子”) 組成的空間, 模去將每一根纖維都映射到自己的規(guī)范自同構(gòu)群. 利用 Cliff和其他人的工作, 他發(fā)現(xiàn)這個空間除去 n 個奇異點(diǎn)外, 是一個五維光滑流形, 其中 n 滿足條件
的點(diǎn)對
的個數(shù). 這個五維流形可通過在無窮遠(yuǎn)處添加一個 M 的復(fù)本來緊化. 此外, 每個奇異可以被描述為一個復(fù)射影平面
上的錐, 適當(dāng)取定向. 這產(chǎn)生 M 和
的 n 個復(fù)本無交并之間的一個配邊. 這樣一個配邊的存在意味著 M 的符號差恰好是 n, 由此很容易得出相交形式可對角化.
A4.6. . 見[1987] 以 及[1984], Gompf [1983, 1993], De和 [1992].
我不打算描述頗為技術(shù)性的構(gòu)造, 但我會粗略地描述下
上怪微分結(jié)構(gòu)的一個例子.
引理 2. 存在一個光滑四維閉流形 M , 及一個拓?fù)渖系倪B通和分解
, 使得兩個拓?fù)淞餍?br /> 中至少有一個沒有任何光滑結(jié)構(gòu).
證明. 設(shè)
是曲面
. K 的相交形式已知是偶型的, 秩是 22, 符號差是 ?16. 以 ?K 記相同的流形,但取相反的定向. 從的定理很容易得出 ?K 保向同胚于五重拓?fù)溥B通和 X#X#Y#Y#Y , 其中X是的E8 流形, 它沒有微分結(jié)構(gòu)而
. 于是結(jié)論成立.
推論3. 兩次穿孔的四維球面上存在一個可微結(jié)構(gòu), 具有以下性質(zhì):沒有光滑嵌入的三維球面可以分開這兩個孔.
證明. 由引理 1, 存在
在 M 中的一個拓?fù)淝度? 它分離M 的兩個因子M1 和 M2. 現(xiàn)在給
的這一拓?fù)淝度霃?fù)本賦予繼承于 M 的微分結(jié)構(gòu). 如果有一個光滑嵌入的
在 M 的這個子集中并且分離兩個拓?fù)溥吔? 那么我們可以沿這個球面切開M , 然后補(bǔ)上兩個四維球體, 所得兩個新的光滑流形分別同胚于M1 和 M2. 但由假設(shè), 這是不可能的. 由于
是微分同胚于兩次穿孔的四維球面, 這就完成了證明.
下一步要困難得多. 以
記 X#X 與
的 n 個復(fù)本的連通和. 取 n? 是使有
微分結(jié)構(gòu)的最小值. (因此, 由定理知: 1≤n?≤3.)
引理 3 (). 存在一個緊致子集
有如下性質(zhì):
? 補(bǔ)集
同胚于
,
? Q 在
中的某一鄰域 V 能光滑地嵌入
中做為其子集, 其中
.我不準(zhǔn)備描述證明: 像的主要定理的證明一樣, 它涉及高度非光滑結(jié)構(gòu).
假設(shè)有引理 2, 開集 U 做為子集的繼承
的微分結(jié)構(gòu), 它就是想要的怪 R4. 事實(shí)上, 如果 U 微分同胚于普通
, 那么它將是一個遞增序列
的并集, 其中每個 Bj 都是四維單位閉球的光滑嵌入復(fù)本. 對于很大的j, 邊界 ?Bj 將包含在 V 內(nèi), 因此會映射到
中的一個光滑嵌入的球面. 該球面將分離
, 使
成為不可能的光滑連通和.
有很多關(guān)于四維流形微分結(jié)構(gòu)和微分同胚不變量的文獻(xiàn), 例見 和[1989],[1999] 以及[2003].
A4.7. 接下來會是什么? 在 20 世紀(jì) 60 年代, 人們驚奇地發(fā)現(xiàn), 維數(shù) 4 和 3 是最困難的情形, 再高的維數(shù)卻更容易. 關(guān)于這種現(xiàn)象一些解釋,[1984]. 高維流形的一個簡要綜述在[2011] 中給出, 特別是文中的表 2 和 3 描述了
的精確結(jié)構(gòu), 其中 1≤ n≤63 并且 n≠4.
本文到此結(jié)束，希望對大家有所幫助 。

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