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轟動全球的四色問題 四色定理( 二 )

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圖4
由于閔可夫斯基在被“四色猜想”空之前就很沮喪，所以“四色問題”和費馬大定理、哥德巴赫猜想一樣有名 。即便人們樂此不疲，也令人望而生畏 。
4.“四色定理”舉例給出“四色定理”的一般證明并不容易 。但是對于一些特殊情況，我們不難給出一個完美的證明 。為了給讀者提供信息，可以以十二面體為例一窺究竟 。
為了繪圖的方便和直觀，將正十二面體通過“打開”、“展開”、“展平”繪制成平面網絡(圖5) 。
約定1號面為正面，12號面為背面，2號至6號面稱為第一環面，7號至11號面稱為第二環面 。此外，如果兩種著色方法的相同顏色表面可以通過十二面體的旋轉而完全重合，則這兩種著色方案被視為相同 。有了這些規定，我們就可以證明以下定理:用四種顏色給十二面體著色，只有四種不同的染色方案 。
圖5
可以分三步推斷:
第一步是給十二面體上色 。無論任何方案，四種顏色每種都正好用三次(請讀者想一想為什么？) 。
第二步，很明顯，1號和12號臉一定不能是同一個顏色 。此外，1號面的色調必須與2號環面使用的顏色相匹配；12號表面必須與涂了兩遍的第一圈表面顏色相同 。顯然，當第一個環面和背面的顏色固定時，其余表面只能用唯一的染色方法著色 。
第三步:從圖6可以看出，用四種顏色給十二面體上色，只有十二種方案 。圖中每行列出的四個方案互不相同，每列顯示的三個方案可以通過旋轉重疊 。原來只有四種不同的染色方案 。
圖6
5.科學史的熱切渴望 。上面的例子說明，當一張地圖上的國家數量不超過12個時，四色定理確實成立 。這一成功激勵著人們不懈地提高一張圖中國家數的上限:1922年，證明了當一張圖中國家數不超過25時，四色定理成立；1938年，有人把國家數量提高到32個；1940年，國家增加到35個；1969年，上限被推到39 。也就是說，從1922年到1969年，近半個世紀，“四色定理”成立的國家只增加了14個 。這樣，為了否定“四色猜想”，至少可以設計一個包含40個相鄰區域的封閉區域 。
圖7
與此同時，也有人從另一方面開辟了一條道路，提出了一系列與四色猜想“等價”的猜想 。只要證實了這些“等價”猜想中的任何一個，那么四色猜想就迎刃而解了 。1972年，有人在一篇論文中列出了多達13個這樣的“等價”猜想，但沒有人能打開缺口，另辟蹊徑 。到了70年代中期，美國伊利諾伊大學的數學家阿佩爾教授和哈肯教授獨樹一幟 。利用Kemp創立的“必然性”和“配置可約性”的基本思想，他們啟動了三臺1BM360超高速電子計算機(由大學畢業生Kochi專門為Appell和Hacken組裝)，運行了1200臺計算機后，做出了200億次邏輯判斷 。最后，在1999年，他們做出了以下決定 。為了紀念阿比埃爾和哈肯的成就，伊利諾伊州大學城厄巴納的郵局蓋了“四種顏色就夠了！”在它宣布“四色定理”被證明的那一天 。(只有四種顏色就夠了)以便記錄下這個古老的奇跡，同時將成功的喜訊及時傳播到全世界 。
雖然“四色猜想”在大型超高速電子計算機的幫助下奇跡般地變成了“四色定理”，但四色問題并沒有結束 。我們知道，傳統的數學證明風格簡潔嚴謹，筆墨可以相互套用 。啟動超高速電子計算機需要上千個機器小時的“馬拉松證明”能否簡化？不計算機械能就不能證明嗎？除了阿佩爾和哈肯的方法，還有其他方法嗎？這些都還是擺在數學家和科學愛好者面前的！所有這些，我還是期待人們去思考，去探索，去發現，去解決！這些都是科學史給予人類的殷切期望！
【轟動全球的四色問題 四色定理】

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