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三角形內角和一定是 180°嗎？ 三角形內角和是多少度

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如果有人問你:“三角形內角之和是多少？”你肯定會不假思索地告訴他:“180！”
如果那個人說不是180，那你可能認為他無知 。
其實“三角形內角之和等于180”只是歐幾里得幾何中的一個定理 。也就是說，在歐氏幾何中，三角形內角之和等于180°，但如果跳出歐氏幾何的范圍，三角形內角之和不一定等于180°！
以栗子為例 。地球赤道、0度經線和90度經線相交形成三角形 。這個三角形的三個角應該是90，它們的和是270！

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你覺得奇怪嗎？除了歐幾里得幾何，你還知道其他幾何嗎？這些幾何被稱為非歐幾里得幾何 。
歐洲幾何
想要探索非歐洲幾何，首先要了解歐洲幾何 。歐幾里得幾何是指根據古希臘數學家歐幾里得構造的幾何 。有時僅指平面上的幾何，即平面幾何 。數學老師上課教的是歐洲幾何 。它有以下簡單的公理:
1.任何兩點都可以用直線連接 。
2.任何線段都可以延伸成直線，沒有創業網絡的限制 。
3.給定任意線段，它的一個端點可以作為圓心，線段可以作為半徑做圓 。
【三角形內角和一定是 180°嗎？三角形內角和是多少度】4.創業網絡的所有直角都是一致的 。
5.如果兩條直線與第三條直線相交，并且同一側的內角之和小于兩個直角之和，則兩條直線必須在此側相交 。
這五個“顯而易見”的公理是平面幾何的基石，我們也是依靠這些公理來解決幾何問題的 。但是機智的你有沒有發現，第五公設(平行公設)和前面四公設相比，啰嗦又不那么明顯，有違數學的簡潔性和美觀性？
在《幾何元素》中，證明了前28個命題沒有使用這個公設，這自然引起人們考慮這個啰嗦的公設是否可以從其他公理和公設中推導出來，也就是說平行公設可能是多余的 。
羅氏幾何的誕生
所以有數學家問，第五公設是否可以作為定理而不是公設 。我們能依靠前四個公設來證明第五個公設嗎？這是幾何發展史上最著名的一次，關于“平行線理論”爭論了2000多年 。
由于第五公設的證明問題一直沒有解決，人們逐漸懷疑證明方式是錯誤的 。第五公設能被證明嗎？
18世紀，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中走了另一條路 。羅巴切夫斯基的父親“老羅”畢生致力于研究第五公設的證明，但一無所獲 。老羅曾告誡兒子“羅曉”:“不要搞第五公理 。我一生都在研究它，還沒有研究出來 。這簡直是數學家的噩夢 。”
然而，小羅沒有聽從父親的建議 。他提出了一個與歐幾里得平行公理相矛盾的命題“如果稍微超出直線一點，至少有兩條直線不能與已知直線相交”，并用它來代替第五公設，再與歐幾里得幾何的前四公設結合，形成公理體系，展開一系列推理 。他認為，如果這種基于系統的推理存在矛盾，就相當于證明了第五公設 。我們知道這其實是數學中的反證法 。
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羅氏幾何協調雙曲面模型
然而，在他極其細致深入的推理過程中，他提出了一個又一個直覺上奇怪但邏輯上不可調和的命題 。最后，羅巴切夫斯基得出了兩個重要結論:
第一個和第五個公設無法證明 。
其次，通過新公理系統中的一系列推理，得到了一系列沒有邏輯矛盾的新定理，形成了新的理論體系 。這個理論體系和歐幾里得幾何一樣完整和嚴謹 。
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左:歐洲幾何右:羅氏幾何
這種幾何被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱洛巴切夫斯基幾何，也是我們發現的最早的非歐洲幾何 。
羅氏幾何公理體系與歐幾里得幾何的區別在于，歐幾里得幾何的平行公理“稍微超出一條直線，一條直線可以且只能平行于一條已知直線”被“稍微在一條直線之外，至少有兩條直線可以平行于這條直線”所取代，其他公理基本相同 。由于平行公理的不同，通過演繹推理產生了一系列不同于歐氏幾何內容的新命題 。
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機智，你可能已經發現以上命題與我們的直覺相矛盾 。然而，經過思考，數學家提出，我們可以做一個直觀的“模型”來證明它的正確性 。
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準球面
1868年，意大利數學家貝塔米發表了一篇著名的論文《解釋非歐幾何的嘗試》，證明了非歐幾何可以在歐幾里得空之間的曲面(如準球面)上實現 。他發現這里三角形的三個內角之和小于180°，相當于為羅氏幾何找到了一個實用的模型 。

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