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2022數學高考復習資料整理( 三 )

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(3) 求在非線性約束條件下的最值問題;
(4) 考查線性規劃問題在解決實際生活、生產實際中的應用.而其中的第(2)(3)(4)點往往是命題的創新點 。
【例1】 設函數f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ ， 其中 ， 角θ的頂點與坐標原點重合 ， 始邊與x軸非負半軸重合 ， 終邊經過點?p(x,y)? ， 且0≤θ≤?π? 。
(1) 若點p的坐標為12,32 ， 求f(θ)的值;
(2) 若點p(x,y)為平面區域ω：x+y≥1,x≤1,y≤1 。上的一個動點 ， 試確定角θ的取值范圍 ， 并求函數f(θ)的最小值和最大值 。
分析 第(1)問只需要運用三角函數的定義即可;第(2)問中只要先畫出平面區域ω ， 再根據抽畫出的平面區域確定角θ的取值范圍 ， 進而轉化為求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函數的最值 。
解 (1) 由點p的坐標和三角函數的定義可得?sin?θ=32 ， ?cos?θ=12 。
于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2 。
(2) 作出平面區域ω (即三角形區域abc)如圖所示 ， 其中a(1,0) ， b(1,1) ， ?c(0,1)?.于是0≤θ≤?π?2,
又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6 ， 
且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3 ， 
故當θ+?π?6=?π?2 ， 即θ=?π?3時 ， f(θ)取得最大值 ， 且最大值等于2;
當θ+?π?6=?π?6 ， 即θ=0時 ， f(θ)取得最小值 ， 且最小值等于1 。
二、 基本不等式
基本不等式是不等式的重要內容,也是歷年高考重點考查的知識之一 。它的應用幾乎涉及高中數學的所有的章節,高考命題的重點是大小判斷、求最值、求范圍等.大多為填空題 ， 試題的難度不大 ， 近幾年的高考試題中也出現了不少考查基本不等式的實際應用問題 。
【例2】 心理學家研究某位學生的學習情況發現：若這位學生剛學完的知識存留量為1 ， 則x 天后的存留量y?1=4x+4;若在t(t>0)天時進行第一次復習 ， 則此時這似乎存留量比未復習情況下增加一倍(復習的時間忽略不計) ， 其后存留量y?2隨時間變化的曲線恰好為直線的一部分 ， 其斜率為a(t+4)?2(?a
(1) 若a=-1,t=5 ， 求“二次復習最佳時機點”;
(2) 若出現了“二次復習最佳時機點” ， 求a的取值范圍 。
分析 關鍵是分析圖像和理解題目所表示的含義 ， 建立函數關系 ， 再用基本不等式求最值 。
解 設第一次復習后的存留量與不復習的存留量之差為y ， 
由題意知 ， y?2=a(t+4)?2(?x-?t)+8t+4(?t>?4),
所以y=y?2-y?1=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4(t>4) 。
當a=-1,t=5時 ， 
y=-1(5+4)?2(x-5)+85+4-4x+4
=-(x+4)81-4x+4+?1≤?-2481+1=59 ， 
當且僅當x=14 時取等號 ， 所以“二次復習最佳時機點”為第14天.
(2) y=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4?=--a(x+4)(t+4)?2-?4x+4+8t+4-a(t+4)(t+4)?2?≤-2-4a(t+4)?2+?8-at+4 ， 當且僅當-a(x+4)(t+4)?2?=4x+4?即x=2-a(t+4)-4 時取等號 ， 
由題意2-a(t+4)-4>t ， 所以-4
點評 基本不等式在每年的高考中幾乎是從不缺席的. ， 關鍵是要注意運用基本不等式的條件：一正、二定、三相等 。
三、 不等式的求解
【例3】 對于問題：“已知關于x的不等式ax?2+bx+c>0的解集為(-1,2) ， 解關于x的不等式ax?2-bx+c>0” ， 給出如下一種解法：
參考上述解法 ， 若關于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為-1,-13∪12,1 ， 則關于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的解集為? ?。
分析 觀察發現ax?2+?bx+?c>0將x換成?-x得??a(-x)?2+?b(-x)+c>0 ， 則解集也相應變化 ， -x∈(-1,2) ， 則?x∈?(-2,1) ， 不等式kx+a+x+bx+c<0將x換成1x得不等式kxax+1+bx+1cx+1<0 ， 故1x∈-1,-13∪12,1 ， 分析可得答案 。
解 由ax?2+bx+c>0的解集為(-1,2) ， 得a(-x)?2+b(-x)+c>0的解集為(?-2?,1) ， 即關于x的不等式ax?2-bx+c>0的解集為(-2,1) 。
若關于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為-1,?-13?∪12,1
則關于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的可看成kx+a+x+bx+c<0中的x用1x代入可得 ， 則有1x∈?-1?,-13∪12,1從而解得x∈(-3,?-1?)∪(1,2),故答案為(-3,-1)∪(1,2) 。


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