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三角形的外心是哪里？

生活百科角形


三角形的外心是哪里？

文章插圖
1、三角形三條中垂線的交點叫外心，即外接圓圓心 。
2、三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內心，即內切圓圓心 。
3、三角形三條高的交點叫垂心 。
4、三角形三條中線的交點叫重心 。
5、僅當三角形是正三角形的時候，重心、垂心、內心、外心四心合一心，稱做正三角形的中心 。
三角形垂心定義
垂心是從三角形的各個頂點向其對邊所作的三條垂線的交點 。
銳角三角形垂心在三角形內部 。
直角三角形垂心在三角形直角頂點 。
鈍角三角形垂心在三角形外部 。
三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6組四點共圓 。
三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心．
【三角形的外心是哪里？】三角形外接圓的圓心也就是三角形三邊中垂線的交點,三角形的三個頂點就在這個外接圓上
設⊿ABC的外接圓為☉G(R)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．
性質1：（1）銳角三角形的外心在三角形內；
（2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合；
（3）鈍角三角形的外心在三角形外.
性質2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).
性質3：∠GAC+∠B=90°
證明：如圖所示延長AG與圓交與P
∵A、C、B、P四點共圓
∴∠P=∠B
∵∠P+∠GAC=90°
∴∠GAC+∠B=90°
性質4：點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，那么點G是⊿ABC外心的充要條件是：
（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
性質5：三角形三條邊的垂直平分線的交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點的距離相等 。
性質6：點G是平面ABC上一點，那么點G是⊿ABC外心的充要條件　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.
內容如下：
一、三角形的外心
定義：
三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心)。
性質：
1.三角形三條邊的垂直平分線的交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心 。
2三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合 。
3.銳角三角形的外心在三角形內；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點重合 。
4.OA=OB=OC=R 。
5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 。
6.S△ABC=abc/4R 。
二、三角形的內心
定義：
三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點(或內切圓的圓心) 。
性質：
1.三角形的三條角平分線交于一點，該點即為三角形的內心 。
2.三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r 。
3.r=2S/(a+b+c) 。
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2 。
5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 。
6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是內切圓半徑) 。

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