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將數字1加到100的幾種技巧 從1加到100

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從1到100的加法(從1到100加法的幾種技巧)
有一個廣為流傳的故事，說著名數學家高斯有一個懶惰的老師 。所謂老師是想讓孩子忙起來，好讓他午睡，于是讓全班同學把數字1加到100 。
高斯回答他:5050 。速度很快，老師懷疑作弊，但高斯肯定沒有！手動將1加到100是笨拙的，高斯找到了一個公式來避免這個問題:
下面分享一些關于這個結果的解釋，真正直觀的理解一下 。對于這些例子，我們將把1加到10，然后看看如何把它應用到1到100(或1到任何數) 。
1:匹配數字
配對數字是解決這個問題的常用方法 。不要將所有數字都寫在一列中，而是按如下方式排列:
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
有一個有趣的模式:每列的總和是11 。隨著上一行數字的增加和下一行數字的減少，每列的總和保持不變 。
因為1和10(我們的n)配對，所以可以說每一列都有(n+1) 。我們有多少對，我們有2個相等的行，我們有n/2對 。
這是上面高斯的公式 。
奇數項怎么辦？
啊，我很高興你提到它 。如果我們把數字1到9相加呢？我們沒有偶數的物品來配對 。
讓我們把9加到數字1上，而不是從1開始，讓我們從0開始計數:
0 1 2 3 4
9 8 7 6 5
通過從0開始計數，我們獲得了一個“額外項”(總共10個)，因此我們可以獲得偶數行 。然而，我們的公式看起來會有所不同 。
請注意，由于0和9是分組在一起的，所以每列之和是N(而不是N+1)；和以前一樣)；我們在2行中有n +1個項目，總共(n+1)/ 2對(而不是在2行中正好有n個項目，總共n/2對) 。如果您插入這些數字，您將得到:
和以前一樣的配方！同一個公式對奇數和偶數都有效！
2:使用兩條線 。
上面的方法是有效的，但是你對奇數和偶數的處理是不同的，需要分別處理 。有沒有更好的辦法？是的 。
讓我們把它們寫成兩行，而不是繞圈子:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
請注意，我們有10對，每對加起來是10+1，每列的總數是11 。
以上所有數字的總和是
但是我們只想要一行的和，不是兩行 。所以我們把上面的公式除以2得到:
這很酷(像數字線一樣酷) 。它適用于奇數或偶數的相同項目！
3.做一個長方形 。
這是一種解釋舊配對的新方法 。不同的解釋對不同的人更有效，我傾向于這一種 。假設我們用beans(用X表示)代替寫數字 。我們想在2到3個豆子中加入1個豆子…一直到5個豆子 。
當然，我們可以選擇10個或100個豆子，但5個也行 。我們如何計算三角形中豆子的數量？
嗯，總和明顯是1+2+3+4 +5 。但是讓我們換個角度來看 。假設我們鏡像三角形(我將使用“O”表示鏡像bean)，然后翻轉它:
很酷吧 。變成一個矩陣團隊 。請看矩陣的最下面一行 。它有五個X和一個O 。在前一行中，1個X(共4個)減少，1個O(共2個)增加 。就像配對一樣，一邊在增加，一邊在減少 。
現在解釋一下:我們總共有多少顆豆子？這是矩形的面積 。
我們有n行(我們沒有改變矩形的行數)，我們集合的寬度是(n+1)個單位，因為1個“O”和所有的“X”配對 。
請注意，這一次，我們不管n是奇數還是偶數，總面積公式都是一樣的 。如果n是奇數，則每行的項目數是偶數(n+1) 。
但是，我們當然不要總面積(X和O的個數)，只要X的個數，既然我們把X翻倍得到O，那么X本身只占總面積的一半:
我們又回到了原來的公式 。同樣，三角形中x的個數= 1+2+3+4+5，或者1到n的和 。
技術:平均
我們都知道
平均值=總數/數量
我們可以把它改寫成
總數=平均數*數量
所以，我們來算一下總和 。如果我們有100個數字(1…100)，那么顯然我們有100個項目 。
為了得到平均值，請注意所有的數字都是平均分布的 。每一個大數字的另一端都有一個小數字 。我們來看一個小插曲:
1 2 3
平均值為2 。2已經在中間了，1和3“抵消”了，所以他們的平均值是2 。
對于偶數個項目
1 2 3 4
2到3之間的平均值是2.5 。
注意，在這兩種情況下，平均值的最左邊是1，而最右邊是n，因此，我們可以說，整個集合的平均值實際上只是1和n: (1+n)/ 2的平均值 。
把它放在我們的公式里 。
看??！我們有第四種方式來思考我們的公式 。
為什么這很有用？
三個原因:
1)快速添加數字可能對預測有用 。
請注意，該公式擴展為:
1000加1 。假設你的網站每天增加1個粉絲，那么在1000天內，你的訪客總數是多少？由于1000的平方等于100萬，我們將獲得100萬/2+1000/2 = 500500次訪問 。

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