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反函數怎么求(已知原函數求反函數)

函數反函數

【反函數怎么求(已知原函數求反函數)】
大家對反函數的第一印象可能就是 ， 自變量和因變量互換位置 ， 函數與反函數關于y=x對稱 。但是大家常常容易忽略一些問題 ， 比如 ， 什么函數存在反函數？三角函數和反三角函數有什么關系？反函數性質在考研中如何用？
由于反函數在考研中不是重點 ， 因此 ， 反函數的含義和性質往往會成為大家容易忽視的一點 ， 這對想要考高分的同學來說 ， 不是一件好事 。
什么函數存在反函數？
是不是任何一個函數都存在反函數呢？
不是 ， 存在反函數的充要條件是x與y一一對應 。也就是說x取一個具體的數值時 ， 有且僅有一個y值對應；y取一個具體的數值時 ， 有且僅有一個x值對應 。如下圖 ， x取1時 ， y只取一個數字12 ， y取12時 ， x也只能取一個數字1 。這就是一一對應關系 。

事實上 ， 我們接觸更多的是連續函數 ， 而不是離散函數或者分段的不連續的函數 。
連續函數存在反函數的充要條件是函數在定義域內嚴格單調 。我們可以通過以下幾幅圖來理解下連續函數存在反函數的充要條件 。

圖（A）中函數f(x)是先遞增后遞減 ， 不是嚴格單調 ， 因此不存在反函數 。從圖像上可以明顯看到 ， 對于y的某些取值 ， x的可能取值有兩個 ， 說明圖（A）中x與y不是一一對應的 ， 自然也就不存在反函數 。
圖（B）的函數f(x)嚴格單調遞增 ， 因此存在反函數 。從圖像上也可以清晰看到 ， 對于y的每一個取值 ， x只有一個值對應；同樣 ， 對于x的每一個取值 ， y只有一個值對應 ， 故圖（B）存在反函數 。
圖（C）的函數是遞減函數 ， 但不是嚴格遞減 ， 因此不存在反函數 。
連續函數存在反函數的充要條件其實質就是從函數存在反函數的充要條件中推理得出來的 ?？梢越Y合圖形記憶連續函數存在反函數的充要條件 。
三角函數與反三角函數的關系
反三角函數 ， 簡單點說 ， 就是三角函數的反函數 。但其實更具體地、更準確地說法是 ， 反三角函數是三角函數定義在一段單調區間內的反函數 。這說明考慮三角函數的反三角函數 ， 必須是在三角函數的一段單調區間內進行 。
下面以正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數為例進行說明 。

前文說過 ， 連續函數存在反函數的充要條件是函數在定義域內嚴格單調 。從三角函數的圖形上看 ， 沒有哪個函數在定義域內是嚴格單調的 ， 但是若將各三角函數縮小到某個區間 ， 三角函數在該區間內就是嚴格單調的 ， 那么在這個區間內我們就可以定義反三角函數了 。
正弦函數sinx在區間[-П/2,П/2]內存在反函數 ， 并記為反正弦函數arcsinx 。
余弦函數cosx在區間[0,П]存在反函數 ， 并記為反余弦函數arccosx 。
正切函數tanx在區間[-П/2,П/2]存在反函數 ， 并記為反正切函數arctanx 。
余切函數cotx在區間[0,П]存在反函數 ， 并記為反余切函數arccotx 。

通過上圖的對比可以發現 ， 函數的定義域就是其反函數的值域 ， 函數的值域就是其反函數的定義域 。一定要牢記上方三角函數在哪個區間內定義的反三角函數關系表 ， 這對今后的做題很有幫助 。
3.反函數重要考點
在考研中 ， 我們需要注意反函數的兩個公式和一條性質 。
兩個公式就是反函數的一階導數和二階導數公式 ， 其導數公式內容和推導過程如下所示 。

反函數的另外一條性質也很重要但經常被大家忽略 。

反函數這條性質說明 ， 對自變量x連續施加運算法則f和反函數運算法則φ,得到的結果是本身 。
大家可以仔細品味下這條性質是如何來的 。然后看看下面這道題 ， 你會做么？


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